热门试卷

（1）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，

又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，

那么，根据题意，点落在上，

∴，易求得，

∴四边形是平行四边形，∴，∴平面 

（2）解法一：作，垂足为，连接，

∵⊥平面，∴，又，

∴平面，∴，∴就是二面角的平面角。

中，，，。

∴，即二面角的余弦值为.

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为

设平面的一个法向量为

则，可求得。

所以，

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为。

方法1：（1）∵，∴平面ABC，∴，

（2）取BC的中点N，连MN，∵，∴，∴平面ABC，作

，交AC的延长线于H，连结MH，由三垂线定理得，∴为二面角的平面角，∵直线AM与直线PC所成的角为，∴在中，。

在中，。

在中，。

在中，。

在中，∵，∴。

故二面角的余弦值为，

方法2：（1）∵，∴平面ABC，∴，

（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示，设，则。。

∵，

且，∴，得，∴

设平面MAC的一个法向量为，则由得得∴，

平面ABC的一个法向量为。，

显然，二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为，

解析：

（1）由题意得：面，

∴,               ------2分

又，

∴面，                                 ------3分

∵面，  ∴平面平面；        ------5分

（2）解法1：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则

因为P为棱的中点，故易求得。             ------6分

设平面的法向量为

则得

令，则              ------8分

而平面的法向量         ------9分

则        ------11分

由图可知二面角为锐角，

故二面角的平面角的余弦值是 .    ------12分

解法2：过P做PP1//A1B1交A1C1的中点于P1,

由（1）可知P1A1,连接P1B,则为二面角的平面角，                ------8分

在中，，，

故二面角的平面角的余弦值是     ------12分

（1）当时，平面

证明：连交于，连。

由可得，，，所以。

若，即， 

由平面，故平面，   4分

（2）由PA=PD=AD=2， Q为AD的中点，则PQ⊥AD

又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，

∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB， 由 ∠BAD=60°得△ABD为正三角形，

又∵Q为AD中点， ∴AD⊥BQ                                             8分

以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为

轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为

A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，）

设平面MQB的法向量为，

可得，令z=1，解得

取平面ABCD的法向量，设所求二面角为，

则    故二面角的大小为60°，                12分

解：（1）设，如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),E(0,0,a),

取BD的中点T，连接CT,AT,则CTBD.

又平面BCD平面ABD,

所以CT平面BCD,

所以CT//AE.

 AB=AD=BC=CD=2, ,

所以CDCB, ,

C(1,1, ),

设平面CDE的法向量为,

则有,    .

AB//平面CDE,

即AE的长为.

（2）连接AC,当时,由(1)可知平面CDE的一个法向量，

又BDAT,BDAE, BD平面ACE,

平面ACE的一个法向量

二面角的大小为.

（1）证明:

连结

（2）于是

（3）

如图建立直角坐标系，

设平面的法向量为

所以，直线与平面所成角的正弦值为          

（1）连BD,四边形ABCD菱形,  ∵AD⊥AB,  ∠BAD=60°

△ABD为正三角形, Q为AD中点, ∴AD⊥BQ

∵PA=PD,Q为AD的中点,AD⊥PQ

又BQ∩PQ=Q  ∴AD⊥平面PQB, AD平面PAD

∴平面PQB⊥平面PAD;

（2）当时,平面

下面证明,若平面,连交于

由可得,,

平面,平面,平面平面,

   即:  

解析：解法1:（1）延长B1E交BC于点F,

∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B1C1=BC,

从而点F为BC的中点.

∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且,

又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.                                  …………5分

（2）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°,

又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC.

以O为原点建立空间直角坐标系O—如图,

则,,,,,.

∵G为△ABC的重心,∴.,∴,

∴.      又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.  …………6分

（2）设平面B1GE的法向量为,则由得

可取 又底面ABC的一个法向量为

设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则.

故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的余弦值为.                 …………12分