热门试卷

（1）连接，则……1分

（方法一）底面，所以，……2分

，……3分

，所以，……4分

因为，所以……5分

（方法二），所以，

底面，所以

因为，所以平面

因为平面，所以

（2）（方法一）过作于，则平面

连接，由⑴知平面当且仅当

又，所以平面，

依题意，，所以，，

是的平分线，从而也是的平分线

在和中，，

所以……13分，，即所求的值为。

（方法二）在平面内过点作，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系

则，，……7分，

设，由得，

解得，，

由⑴知平面当且仅当……11分，即所以解得

（方法三）过作，交于，连接，则平面即平面

……6分，由⑴知平面当且仅当……7分

由⑴及余弦定理得 

所以，又，

所以。

解：（1）证明：四边形是平行四边形，，

平面，又，，平面.

（2）设的中点为，在平面内作于，则平行且等于，连接，则四边形为平行四边形，

∥，平面，平面，

∥平面，为中点时，∥平面.

设为的中点，连结，则平行且等于，

平面，平面，

.

（1）解法一：∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD  ∴BC ⊥PA 

又∵BC⊥AB，PA∩AB=A    ∴BC⊥平面PAB

∴∠CPB为PC与平面PAB所成的角

在Rt△PAB

在Rt△CBP中，

即PC与平面PAB所成角的正切值为

解法二：∵PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD ∴AD⊥PA  

又∵DA⊥AB，PA∩AB=A  ∴AD⊥平面PAB   

∵BC⊥AB  ∴BC∥AD  ∴BC⊥平面PAB  

∴∠CPB为PC与平面PAB所成的角 

在Rt△PAB

在Rt△CBP中，

即PC与平面PAB所成角的正切值为

解法三：

∵PA⊥平面ABCD DA⊥AB

∴以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线

为y轴建立空间直角坐标系如图示：易得B(1，0，0)，C(1，1，0)，

D(0，2，0)，P(0，0，2)， 

则   

设PC与平面PAB所成角的大小为θ，

则

，即PC与平面PAB所成角的正切值为

（2）证法一：

过点C作CE∥AB交AD于点E，

∵DA⊥AB   ∴DA⊥EC，且AE =BC =1

∵AD =2，∴E为AD的中点，∴EC为AD的垂直平分线，∴CD=AC，

∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=450

∴∠DAC =∠ADC=450，∴∠DCA=900，即DC⊥AC，

又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD  ∴CD⊥PA，且PA∩AC=A

∴CD⊥平面PAC，

∵CD面PDC。

∴平面PAC⊥平面PCD

证法二：∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD  ∴CD⊥PA，

又

即AC⊥DC，

∵PA∩AC=A，

∴CD⊥平面PAC，

∵CD面PDC，

∴平面PAC⊥平面PCD.

证法三：

∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD ∴CD⊥PA

∵DA⊥AB ∴以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD

所在的直线为y轴建立空间直角坐标系如图示：易得B(1，0，0)，C(1，1，0)，

D(0，2，0)，P(0，0，2)，

则

∵PA∩AC=A，

∴CD⊥平面PAC，

∵CD面PDC。

∴平面PAC⊥平面PCD

解析：（1）取的中点，连结，因为为中点，所以，且

，在梯形中，，，

所以，，四边形为平行四边形，所以，

又因为平面，平面，

所以平面。                           ………4分

（2）平面底面，，所以平面，所以，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，。。

所以，又由平面，可得，所以平面。            ………8分

（3）平面的法向量为，

，所以，

设平面的法向量为，由，，得，

所以，所以，

注意到，得                                   …………12分