热门试卷

解法一：（1）

由已知

∴PG=4

如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系o—xyz，则

B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）

故E（1，1，0）

（2）设F（0，y , z）

在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则

解法二：

（1）由已知

∴PG=4

在平面ABCD内，过C点作CH//EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角.

在△PCH中，

由余弦定理得，cos∠PCH=

（2）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC

∴GC⊥平面MFD， ∴GC⊥FM

由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD  ∴FM//PG

由GM⊥MD得：GM=GD·cos45°=

取AM的中点O，AB的中点B，则两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，如图。根据已知条件，得,,,  

（1）由于,则,故.

（2）

设存在满足条件的点E,并设，

则

则点E的坐标为.（其中）易得平面ADM的法向量可以取，设平面AME的法向量为，则,

则

则，取 *由于二面角大小为，则      ，由于，故解得.故当E位于线段DB间，且时，二面角大小为

以为原点，、、分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示．

设，因为为等腰直角三角形，，且，

所以，，，，

所以，，，．     
（Ⅰ）设平面的法向量为，则由，得，
令，则．  
设平面的法向量为，则由，得，
令，则．
所以，所以平面平面．    
（Ⅱ）因为为中点，所以，．
则．

设直线和平面所成角为，则
所以直线和平面所成角的正弦值为．

（1）证明：∵AD⊥平面ABC，AC面ABC，AB面ABC，

∴AD⊥AC，AD⊥AB，

∵AD∥CE，∴CE⊥AC

∴四边形ACED为直角梯形.

又∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，∴AB⊥面ACED.

∴凸多面体ABCED的体积

求得CE=2.

取BE的中点G，连结GF，GD，

则GF∥EC，GFCE=1，

∴GF∥AD，GF=AD，四边形ADGF为平行四边形，

∴AF∥DG.

又∵GD面BDE，AF面BDE，

∴AF∥平面BDE.

（2）证明：∵AB=AC，F为BC的中点，

∴AF⊥BC.

由（1）知AD⊥平面ABC，AD∥GF，∴GF⊥面ABC.

∵AF面ABC，∴AF⊥GF.

又BCGF=F，∴AF⊥面BCE.

又∵DG∥AF，∴DG⊥面BCE.

∵DG面BDE，∴面BDE⊥面BCE.

（1）取AE的中点M，连结B1M，

因为BA=AD=DC=BC=a，△ABE为等边三角形，

则B1M=，又因为面B1AE⊥面AECD，

所以B1M⊥面AECD，

所以

（2）连结ED交AC于O，连结OF，因为AECD为菱形，OE=OD所以FO∥B1E，

所以。

（3）连结MD，则∠AMD=，分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴建系，则,

,,,

所以，，,,

设面ECB1的法向量为，，

令x=1, ，同理面ADB1的法向量为

，  所以，

故面所成锐二面角的余弦值为.