三角形中的几何计算_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17.△ABC的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知

（I）求C；

（II）若的面积为，求△ABC的周长．

正确答案

解（Ⅰ）∵2cos C（acosB+bcosA）=C

∴2cos C（sinAcos B+sinBcosA）=sinC

∴2cosC sin(A+B)=sinC

∴2cosC sinC=sin C

∴ 0＜C＜π

∴ cosC=

∴ C=

(Ⅱ) ∵△ABC面积为且C=

∴即

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25

∵a+b=5

∴a+b+c=5+

∴ABC的周长为5+

知识点

正弦定理的应用余弦定理的应用三角形中的几何计算

1

题型：填空题

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填空题 · 14 分

在中，内角所对的边分别为，已知

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）若的面积，求角A的大小.

正确答案

（I）由正弦定理得，

故，

于是．

又，，故，所以

或，

因此（舍去）或，

所以，．

（II）由得，故有

，

因，得．

又，，所以．

当时，；

当时，．

综上，或．

知识点

三角形中的几何计算

1

题型：简答题

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简答题 · 4 分

9. 已知的三边长为，则该三角形的外接圆半径等于________________

正确答案

解析

，

∴

知识点

三角形中的几何计算解三角形的实际应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17.△ABC的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知

（I）求C；

（II）若的面积为，求△ABC的周长．

正确答案

解（Ⅰ）∵2cos C（acosB+bcosA）=C

∴2cos C（sinAcos B+sinBcosA）=sinC

∴2cosC sin(A+B)=sinC

∴2cosC sinC =sin C

∴

(Ⅱ) ∵△ABC面积为且

∴即

∴

∵a+b=5

∴a+b+c=5+

∴△ABC周长为5+.

知识点

正弦定理的应用余弦定理的应用三角形中的几何计算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.

19.证明：；

20.若，求.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）根据正弦定理，可设===k(k>0)．

则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C．

代入+=中，有

+=，变形可得

sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．

在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C，

所以sin Asin B=sin C．

解析

（I）证明：由正弦定理可知原式可以化解为

∵和为三角形内角 , ∴则，两边同时乘以，可得由和角公式可知，原式得证。

考查方向

本题主要考查了正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.考查学生的分析问题的能力和计算能力

解题思路

本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为这个结论，否则难以得出结论．

易错点

本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，在用化边为角的技巧应用中有时会发生错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）4.

解析

（II）由题,根据余弦定理可知，

∵为为三角形内角，，

则，即由（I）可知，∴ ∴

考查方向

本题主要考查了正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.考查学生的分析问题的能力和计算能力

解题思路

本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为这个结论，否则难以得出结论．

易错点

本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，在用化边为角的技巧应用中有时会发生错误。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13．在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，则的值为 .

正确答案

8

解析

因为，所以，

又，解方程组得，由余弦定理得

，所以.

考查方向

1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.

解题思路

根据1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.结合已知条件构造方程组解出即可。

易错点

定理不熟悉。

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

16.（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（Ⅰ）证明：a+b=2c;

（Ⅱ）求cosC的最小值.

正确答案

解析：由题意知，

化简得，

即.

因为,

所以.

从而.

由正弦定理得.

由知,

所以，

当且仅当时，等号成立.

故的最小值为.

考查方向

两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式.

教师点评

知识点

三角形中的几何计算

1

题型：填空题

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填空题 · 12 分

（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.

（I）证明：；

（II）若，求.

正确答案

（Ⅰ）根据正弦定理，可设===k(k>0)．

则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C．

代入+=中，有

+=，变形可得

sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．

在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C，

所以sin Asin B=sin C．

（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有

cos A==．

所以sin A==．

由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，

所以sin B=cos B+sin B，

故tan B==4．

知识点

正弦定理的应用余弦定理的应用三角形中的几何计算

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

12．若锐角的面积为，且，则等于________．

正确答案

解析

由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，．

考查方向

1、三角形面积公式；2、余弦定理．

解题思路

利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC.

易错点

计算能力弱，不会用余弦定理求三角形的面积

知识点

正弦定理余弦定理三角形中的几何计算

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

（14分）（2015•上海）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．

（1）求t1与f（t1）的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．

正确答案

解：（1）由题意可得t1==h，

设此时甲运动到点P，则AP=v甲t1=5×=千米，

∴f（t1）=PC=

==千米；

（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，

∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，

∴f（t1）=PC=

==千米；

（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，

∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，

∴f（t）=PQ=

=

=，

当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，

∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t

∴f（t）=

∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，

故f（t）的最大值超过了3千米．

知识点

三角形中的几何计算三角函数的最值

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