- 复合函数的单调性
- 共394题
各项都是正数的等比数列的公比,且成等差数列,则
的值为 ( )
正确答案
解析
略
知识点
已知下列命题:
①设m为直线,为平面,且m,则“m//”是“”的充要条件;
②的展开式中含x3的项的系数为60;
③设随机变量~N(0,1),若P(≥2)=p,则P(-2<<0)=;
④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立,则m的取值范围是(,2);
⑤已知奇函数满足,且0<x<时,则函数在[,]上有5个零点。
其中真命题的序号是 (写出全部真命题的序号)。
正确答案
③
解析
略
知识点
某人沿一条折线段组成的小路前进,从到,方位角(从正北方向顺时针转到方向所成的角)是,距离是3km;从到,方位角是110°,距离是3km;从到,方位角是140°,距离是()km.
试画出大致示意图,并计算出从A到D的方位角和距离(结果保留根号)。
正确答案
见解析
解析
示意图,如图所示,
连接AC,在△ABC中,∠ABC=50°+(180°-110°)=120°,
又AB=BC=3,∴∠BAC=∠BCA=30°
由余弦定理可得
在△ACD中,∠ACD=360°-140°-(70°+30°)=120°,CD=3+9.
由余弦定理得AD=
==(km).
由正弦定理得sin∠CAD=
∴∠CAD=45°,于是AD的方位角为50°+30°+45°=125°,
所以,从A到D的方位角是125°,距离为km.
知识点
数列的前项和为,且是和的等差中项,等差数列满足,. (1)求数列、的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,证明:.
正确答案
见解析
解析
(1)∵是和的等差中项,∴.
当时,,∴,
当时,,∴ ,即 ,
∴数列是以为首项,为公比的等比数列,∴,
设的公差为,,,∴∴
(2) ,
∴,∵,
∴ ,,
∴数列是一个递增数列,∴.
综上所述,.
知识点
已知椭圆C的左,右焦点坐标分别为,离心率是。椭圆C的左,右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于轴上方的动点,直线AS,BS与直线分别交于M,N两点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)求线段MN长度的最小值;
(3)当线段MN的长度最小时,在椭圆C上的T满足:的面积为。试确定点T的个数。
正确答案
(1)椭圆C的方程为
(2)
(3)T的个数是2
解析
(1)因为,且,所以
所以椭圆C的方程为 …………………………………………….3分
(2)易知椭圆C的左,右顶点坐标为,直线AS的斜率显然存在,且
故可设直线AS的方程为,从而
由得
设,则,得
从而,即
又,故直线BS的方程为
由得,所以
故
又,所以
当且仅当时,即时等号成立
所以时,线段MN的长度取最小值 ………………………………..9分
(3)由(2)知,当线段MN的长度取最小值时,
此时AS的方程为,,
所以,要使的面积为,
只需点T到直线AS的距离等于,
所以点T在平行于AS且与AS距离等于的直线上
设,则由,解得
① 当时,由得
由于,故直线与椭圆C有两个不同交点
②时,由得
由于,故直线与椭圆C没有交点
综上所求点T的个数是2. ……………………………………………..14分
知识点
若函数满足:集合中至少存在三个不同的数构成等比数列,则称函数是等比源函数。
(1)判断下列函数:①;②中,哪些是等比源函数?(不需证明)
(2)证明:对任意的正奇数,函数不是等比源函数;
(3)证明:任意的,函数都是等比源函数。
正确答案
见解析
解析
(1)①②都是等比源函数.
(2)证明:假设存在正整数且,使得成等比数列,
,整理得,
等式两边同除以得.
因为,所以等式左边为偶数,等式右边为奇数,
所以等式不可能成立,
所以假设不成立,说明对任意的正奇数,函数不是等比源函数 10分
(3)因为任意的,都有,
所以任意的,数列都是以为首项公差为的等差数列.
由,(其中)可得
,整理得
,
令,则,
所以,
所以任意的,数列中总存在三项成等比数列.
所以任意的,函数都是等比源函数.
知识点
下列四个图中,函数的图象可能是 ( )
正确答案
解析
略
知识点
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点,
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若 为定值。
正确答案
见解析
解析
(1)设椭圆C的方程为,因为抛物线的焦点坐标是
所以由题意知b = 1,又有
∴椭圆C的方程为
(2)方法一:设A、B、M点的坐标分别为易知右焦点的坐标为(2,0)。
将A点坐标代入到椭圆方程中,得去分母整理得
方法二:设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为(2,0),显然直线l存在的斜率,设直线l的斜率为k,则直线l的方程是
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中,消去y并整理得
又
知识点
已知数列满足,且对任意的正整数都有,若数列的
前项和为,则=
正确答案
解析
略
知识点
已知函数。
(1)当时,求函数在点(1,1)处的切线方程;
(2)若在y轴的左侧,函数的图象恒在的导函数图象的上方,求k的取值范围;
(3)当k≤-l时,求函数在[k,l]上的最小值m。
正确答案
见解析
解析
知识点
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