复合函数的单调性
共394题

· 复合函数的单调性

复合函数的单调性
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题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点。

（1）如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cosα和sinβ的值；

（2）在（1）的条件下，求cos（β﹣α）的值；

（3）已知点C，求函数的值域。

正确答案

见解析

解析

（1）根据三角函数的定义，得，。

又α是锐角，所以，，

（2）由（1）知，，。

又α是锐角，β是钝角，

所以，。

所以

（3）由题意可知，，。

所以，

因为，所以，

所以函数的值域为，

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知(a是常数，a∈R)

（1）当a=1时求不等式的解集。

（2）如果函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）

∴的解为，

（2）由得,，

令,,作出它们的图象，可以知道，当时，

这两个函数的图象有两个不同的交点，

所以，函数有两个不同的零点。

知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

单选题 · 5 分

在中，分别为内角所对的边，，且满足，若点是外一点，,，平面四边形面积的最大值是

正确答案

解析

由得

因此为正三角形.

设该三角形的边长为，则

显然当时.

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点

作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为。

（1）求抛物线的方程；

（2）当的角平分线垂直轴时，

求直线的斜率；

（3）若直线在轴上的截距为，求的最小值。

正确答案

见解析

解析

（1）∵点到抛物线准线的距离为，

∴，即抛物线的方程为。

（2）法一：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，

设，，

∴，∴ ，

∴.

。

法二：∵当的角平分线垂直轴时，点，∴，可得，，∴直线的方程为，

联立方程组，得，

∵

∴，。

同理可得，，∴。

（3）法一：设，∵，∴，

可得，直线的方程为，

同理，直线的方程为，

∴，

，·

∴直线的方程为，

令，可得，

∵关于的函数在单调递增，

∴。··

法二：设点，，。

以为圆心，为半径的圆方程为，···· ①

⊙方程：，············· ②

①-②得：

直线的方程为。

当时，直线在轴上的截距，

∵关于的函数在单调递增，

∴

知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数 f（x）=ax+x﹣b的零点xb∈（n，n+1）（n∈Z），其中常数a，b满足2a=3，3b=2，则n的值是（　　）

A﹣2

B﹣1

正确答案

解析

∵2a=3，3b=2，∴a=log23，b=log32，

∴函数f（x）=（log23）x+x﹣log32，且函数是R上的增函数，

而f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=1﹣log32＞0，

∴函数f（x）=（log23）x+x﹣log32在（﹣1，0）内有一个零点，

故n=﹣1，

故选B。

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知双曲线与圆相切，过的一个焦点且斜率为的直线也与圆相切。

（1）求双曲线的方程；

（2）是圆上在第一象限的点，过且与圆相切的直线与的右支交于、两点，的面积为，求直线的方程。

正确答案

（1）（2）y=-1x+

解析

1）∵双曲线与圆相切，∴ ，

过的一个焦点且斜率为的直线也与圆相切，得，既而

故双曲线的方程为

（2）设直线：，，，

圆心到直线的距离，由得

由得

则，

又的面积，∴

由，解得，，

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 12 分

一个口袋内有()个大小相同的球，其中有3个红球和个白球，已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是。

（1）当时，不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数的期望；

（2）若，有放回地从口袋中连续地取四次球(每次只取一个球)，在四次摸球中恰好取到两次红球的概率大于，求和。

正确答案

见解析

解析

（1）法一：，所以5个球中有2个白球

白球的个数可取0，1，2

。

法二：白球个数服从参数为的超几何分布，则

（2）由题设知，，·

因为所以不等式可化为，

解不等式得，，即。

又因为，所以，即，

所以，所以，所以。

知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），

c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（　　）

Aa＞b＞c

Bc＞＞b＞a

Cc＞a＞b

Da＞c＞b

正确答案

解析

解：令F（x）=xf（x），则F′（x）=f（x）﹣xf′（x）。

因为f（x）+xf′（x）＜0，

所以函数F（x）在x∈（﹣∞，0）上为减函数。

因为函数y=x与y=f（x）都是定义在R上的奇函数，

所以函数F（x）为定义在实数上的偶函数。

所以函数F（x）在x∈（0，+∞）上为增函数。

又30.3＞30=1，0=logπ1＜logπ3＜logππ=1，。

则F（||）＞F（30.3）＞F（logπ3）。

所以（log3）•f（log3）＞（30.3）•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3），

即c＞a＞b。

故选C，

知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

单选题 · 5 分

正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，平面α垂直于体对角线BD1，则该正方体在平面α上射影的面积是（　　）

正确答案

解析

解：如图示，由题意知，

BD1⊥A1D，BD1⊥C1D，A1D∩C1D=D，

则平面A1C1D即为平面α

则该正方体在平面α上射影的面积即为：△A1AD，△A1C1B1，△CC1D在平面A1C1D上投影的面积再加上△A1C1D的面积

而△A1AD≌△A1C1B1≌△CC1D，且△A1AD≌△A1D1D，

故△A1AD，△A1C1B1，△CC1D在平面A1C1D上投影的面积为三倍的△A1D1D在平面A1C1D上投影的面积

而三倍的△A1D1D在平面A1C1D上投影的面积即为△A1C1D的面积

故该正方体在平面α上射影的面积为==。

故选B

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知函数.

（1）当时，求的解集；

（2）当时，恒成立，求实数的集合。

正确答案

（1）（2）a<3

解析

（1）时，

①当时

②当时，不成立

③当时

综上，不等式的解集为

（2）即恒成立，，当且仅当时取等，

知识点

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