- 复合函数的单调性
- 共394题
如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点。
(1)如果A,B两点的纵坐标分别为,
,求cosα和sinβ的值;
(2)在(1)的条件下,求cos(β﹣α)的值;
(3)已知点C,求函数
的值域。
正确答案
见解析
解析
(1)根据三角函数的定义,得,
。
又α是锐角,所以,,
(2)由(1)知,,
。
又α是锐角,β是钝角,
所以,
。
所以
(3)由题意可知,,
。
所以,
因为,所以
,
所以函数的值域为
,
知识点
已知(a是常数,a∈R)
(1)当a=1时求不等式的解集。
(2)如果函数恰有两个不同的零点,求a的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)
∴的解为
,
(2)由得,
,
令,
,作出它们的图象,可以知道,当
时,
这两个函数的图象有两个不同的交点,
所以,函数有两个不同的零点。
知识点
在中,
分别为内角
所对的边,
,且满足
,若点
是
外一点,
,
,平面四边形
面积的最大值是
正确答案
解析
由得
因此
为正三角形.
设该三角形的边长为,则
显然当时
.
知识点
如图,已知抛物线:
和⊙
:
,过抛物线
上一点
作两条直线与⊙
相切于
、
两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点
到抛物线准线的距离为
。
(1)求抛物线的方程;
(2)当的角平分线垂直
轴时,
求直线的斜率;
(3)若直线在
轴上的截距为
,求
的最小值。
正确答案
见解析
解析
(1)∵点到抛物线准线的距离为
,
∴,即抛物线
的方程为
。
(2)法一:∵当的角平分线垂直
轴时,点
,∴
,
设,
,
∴,∴
,
∴.
。
法二:∵当的角平分线垂直
轴时,点
,∴
,可得
,
,∴直线
的方程为
,
联立方程组,得
,
∵
∴,
。
同理可得,
,∴
。
(3)法一:设,∵
,∴
,
可得,直线的方程为
,
同理,直线的方程为
,
∴,
,·
∴直线的方程为
,
令,可得
,
∵关于
的函数在
单调递增,
∴。··
法二:设点,
,
。
以为圆心,
为半径的圆方程为
,···· ①
⊙方程:
,············· ②
①-②得:
直线的方程为
。
当时,直线
在
轴上的截距
,
∵关于
的函数在
单调递增,
∴
知识点
已知函数 f(x)=ax+x﹣b的零点xb∈(n,n+1)(n∈Z),其中常数a,b满足2a=3,3b=2,则n的值是( )
正确答案
解析
∵2a=3,3b=2,∴a=log23,b=log32,
∴函数f(x)=(log23)x+x﹣log32,且函数是R上的增函数,
而f(﹣1)=﹣1<0,f(0)=1﹣log32>0,
∴函数f(x)=(log23)x+x﹣log32在(﹣1,0)内有一个零点,
故n=﹣1,
故选B。
知识点
已知双曲线与圆
相切,过
的一个焦点且斜率为
的直线也与圆
相切。
(1)求双曲线的方程;
(2)是圆
上在第一象限的点,过
且与圆
相切的直线
与
的右支交于
、
两点,
的面积为
,求直线
的方程。
正确答案
(1) (2)y=-1x+
解析
1)∵双曲线与圆
相切,∴
,
过的一个焦点且斜率为
的直线也与圆
相切,得
,既而
故双曲线的方程为
(2)设直线:
,
,
,
圆心到直线
的距离
,由
得
由 得
则,
又的面积
,∴
由, 解得
,
,
知识点
一个口袋内有(
)个大小相同的球,其中有3个红球和
个白球,已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是
。
(1)当时,不放回地从口袋中随机取出3个球,求取到白球的个数
的期望
;
(2)若,有放回地从口袋中连续地取四次球(每次只取一个球),在四次摸球中恰好取到两次红球的概率大于
,求
和
。
正确答案
见解析
解析
(1)法一:,所以5个球中有2个白球
白球的个数可取0,1,2
。
。
法二:白球个数服从参数为
的超几何分布,则
(2)由题设知,,·
因为所以不等式可化为
,
解不等式得,,即。
又因为,所以
,即
,
所以,所以
,所以
。
知识点
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(﹣∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0(其中f′(x)是f(x)的导函数),若a=(30.3)•f(30.3),b=(logπ3)•f(logπ3),
c=(log3)•f(log3
),则a,b,c的大小关系是( )
正确答案
解析
解:令F(x)=xf(x),则F′(x)=f(x)﹣xf′(x)。
因为f(x)+xf′(x)<0,
所以函数F(x)在x∈(﹣∞,0)上为减函数。
因为函数y=x与y=f(x)都是定义在R上的奇函数,
所以函数F(x)为定义在实数上的偶函数。
所以函数F(x)在x∈(0,+∞)上为增函数。
又30.3>30=1,0=logπ1<logπ3<logππ=1,。
则F(||)>F(30.3)>F(logπ3)。
所以(log3)•f(log3
)>(30.3)•f(30.3)>(logπ3)•f(logπ3),
即c>a>b。
故选C,
知识点
正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1,平面α垂直于体对角线BD1,则该正方体在平面α上射影的面积是( )
正确答案
解析
解:如图示,由题意知,
BD1⊥A1D,BD1⊥C1D,A1D∩C1D=D,
则平面A1C1D即为平面α
则该正方体在平面α上射影的面积即为:△A1AD,△A1C1B1,△CC1D在平面A1C1D上投影的面积再加上△A1C1D的面积
而△A1AD≌△A1C1B1≌△CC1D,且△A1AD≌△A1D1D,
故△A1AD,△A1C1B1,△CC1D在平面A1C1D上投影的面积为三倍的△A1D1D在平面A1C1D上投影的面积
而三倍的△A1D1D在平面A1C1D上投影的面积即为△A1C1D的面积
故该正方体在平面α上射影的面积为=
=
。
故选B
知识点
已知函数.
(1)当时,求
的解集;
(2)当时,
恒成立,求实数
的集合。
正确答案
(1)(2)a<3
解析
(1)时,
①当时
②当时
,不成立
③当时
综上,不等式的解集为
(2)即恒成立,
,当且仅当
时取等,
知识点
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