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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点。

(1)如果A,B两点的纵坐标分别为,求cosα和sinβ的值;

(2)在(1)的条件下,求cos(β﹣α)的值;

(3)已知点C,求函数的值域。

正确答案

见解析

解析

(1)根据三角函数的定义,得

又α是锐角,所以,

(2)由(1)知,

又α是锐角,β是钝角,

所以

所以

(3)由题意可知,

所以

因为,所以

所以函数的值域为

知识点

复合函数的单调性
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题型:简答题
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简答题 · 10 分

已知(a是常数,a∈R)

(1)当a=1时求不等式的解集。

(2)如果函数恰有两个不同的零点,求a的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)

的解为 ,

(2)由得,

,,作出它们的图象,可以知道,当时,

这两个函数的图象有两个不同的交点,

所以,函数有两个不同的零点。

知识点

复合函数的单调性
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

中,分别为内角所对的边,,且满足,若点外一点,,,平面四边形面积的最大值是

A

B

C3

D

正确答案

A

解析

因此为正三角形.

设该三角形的边长为,则

显然当.

知识点

复合函数的单调性
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,已知抛物线和⊙,过抛物线上一点

作两条直线与⊙相切于两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点到抛物线准线的距离为

(1)求抛物线的方程;

(2)当的角平分线垂直轴时,

求直线的斜率;

(3)若直线轴上的截距为,求的最小值。

正确答案

见解析

解析

(1)∵点到抛物线准线的距离为

,即抛物线的方程为

(2)法一:∵当的角平分线垂直轴时,点,∴

,∴

.

。 

法二:∵当的角平分线垂直轴时,点,∴,可得,∴直线的方程为

联立方程组,得

同理可得,∴。 

(3)法一:设,∵,∴

可得,直线的方程为

同理,直线的方程为

,·

∴直线的方程为

,可得

关于的函数在单调递增,

。··

法二:设点

为圆心,为半径的圆方程为,···· ①

方程:,············· ②

①-②得:

直线的方程为。  

时,直线轴上的截距

关于的函数在单调递增,

知识点

复合函数的单调性
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知函数 f(x)=ax+x﹣b的零点xb∈(n,n+1)(n∈Z),其中常数a,b满足2a=3,3b=2,则n的值是(  )

A﹣2

B﹣1

C0

D1

正确答案

B

解析

∵2a=3,3b=2,∴a=log23,b=log32,

∴函数f(x)=(log23)x+x﹣log32,且函数是R上的增函数,

而f(﹣1)=﹣1<0,f(0)=1﹣log32>0,

∴函数f(x)=(log23)x+x﹣log32在(﹣1,0)内有一个零点,

故n=﹣1,

故选B。

知识点

复合函数的单调性
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知双曲线与圆相切,过的一个焦点且斜率为的直线也与圆相切。

(1)求双曲线的方程;

(2)是圆上在第一象限的点,过且与圆相切的直线的右支交于两点,的面积为,求直线的方程。

正确答案

(1)    (2)y=-1x+

解析

1)∵双曲线与圆相切,∴

的一个焦点且斜率为的直线也与圆相切,得,既而

故双曲线的方程为

(2)设直线

圆心到直线的距离,由

 得

的面积,∴

,      解得

知识点

复合函数的单调性
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

一个口袋内有()个大小相同的球,其中有3个红球和个白球,已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是

(1)当时,不放回地从口袋中随机取出3个球,求取到白球的个数的期望

(2)若,有放回地从口袋中连续地取四次球(每次只取一个球),在四次摸球中恰好取到两次红球的概率大于,求

正确答案

见解析

解析

(1)法一:,所以5个球中有2个白球

白球的个数可取0,1,2

法二:白球个数服从参数为的超几何分布,则

(2)由题设知,,·

因为所以不等式可化为

解不等式得,,即。

又因为,所以,即

所以,所以,所以

知识点

复合函数的单调性
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(﹣∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0(其中f′(x)是f(x)的导函数),若a=(30.3)•f(30.3),b=(logπ3)•f(logπ3),

c=(log3)•f(log3),则a,b,c的大小关系是(  )

Aa>b>c

Bc>>b>a

Cc>a>b

Da>c>b

正确答案

C

解析

解:令F(x)=xf(x),则F(x)=f(x)﹣xf(x)。

因为f(x)+xf′(x)<0,

所以函数F(x)在x∈(﹣∞,0)上为减函数。

因为函数y=x与y=f(x)都是定义在R上的奇函数,

所以函数F(x)为定义在实数上的偶函数。

所以函数F(x)在x∈(0,+∞)上为增函数。

又30.3>30=1,0=logπ1<logπ3<logππ=1,

则F(||)>F(30.3)>F(logπ3)。

所以(log3)•f(log3)>(30.3)•f(30.3)>(logπ3)•f(logπ3),

即c>a>b。

故选C,

知识点

复合函数的单调性
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1,平面α垂直于体对角线BD1,则该正方体在平面α上射影的面积是(  )

A

B

C

D2

正确答案

B

解析

解:如图示,由题意知,

BD1⊥A1D,BD1⊥C1D,A1D∩C1D=D,

则平面A1C1D即为平面α

则该正方体在平面α上射影的面积即为:△A1AD,△A1C1B1,△CC1D在平面A1C1D上投影的面积再加上△A1C1D的面积

而△A1AD≌△A1C1B1≌△CC1D,且△A1AD≌△A1D1D,

故△A1AD,△A1C1B1,△CC1D在平面A1C1D上投影的面积为三倍的△A1D1D在平面A1C1D上投影的面积

而三倍的△A1D1D在平面A1C1D上投影的面积即为△A1C1D的面积

故该正方体在平面α上射影的面积为==

故选B

知识点

复合函数的单调性
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题型:简答题
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简答题 · 10 分

已知函数.

(1)当时,求的解集;

(2)当时,恒成立,求实数的集合。

正确答案

(1)(2)a<3

解析

(1)时,

①当

②当,不成立

③当

综上,不等式的解集为

(2)即恒成立,,当且仅当时取等,

知识点

复合函数的单调性
下一知识点 : 函数的最值及其几何意义
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