复合函数的单调性
共394题

· 复合函数的单调性

复合函数的单调性
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题型：单选题

单选题 · 5 分

设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为

正确答案

解析

因为当时，f(x)=x3. 所以当，f(x)=f(2x)=(2x)3，

当时，g(x)=xcos；当时，g(x)= xcos，注意到函数f(x)、 g(x)都是偶函数，且f(0)= g(0)， f(1)= g(1)，，作出函数f(x)、 g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，故选B

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知二次函数，关于x的不等式的解集为(m，m+1)，m≠0)，设。

（1）求a“的值；

（2）k（k∈R）如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；

（3）着rn=l，且x>0，求证：。

正确答案

见解析

解析

（1）解：∵关于的不等式的解集为，

等价于的解为，

∴. ∴.

（2）解:由（1）得.

∴的定义域为.由.

由题意，函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且至少有一个零点在上. 令,

得, (*)

则,(**)

方程（*）的两个实根为, .

①当时，，方程（*）的两个实根为

则函数在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点.

②当时，由,得或，

若，则

故时，，∴函数在上单调递增. 函数没有极值点.

若时，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点，有极大值点.

综上所述, 当时，取任意实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点.

(其中, )

（3）证法1：∵， ∴.

∴

令，∵，

∴，即.

证法2：用数学归纳法证明不等式.

① 当时，左边，右边，不等式成立；

② 假设当N时，不等式成立，即，

则

也就是说，当时，不等式也成立. 由①②可得，对N

知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知：命题p：“a=1是x>0，的充分必要条件”；

命题q：“ ”，则下列命题正确的是

A命题“p ∧ q”是真命题

B命题“（┐p）∧ q”是真命题

C命题“ p∧（┐q）”是真命题

D命题“（┐p）∧（┐q）”是真命题

正确答案

解析

有已知条件可知，命题p是假命题，命题q是真命题，根据命题的真假值表，可得命题“（┐p）∧ q ”是真命题，故选B.

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知。

（1）求证：；

（2）若不等式对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）由柯西不等式得，

∴ 所以的取值范围是

（2）同理，

若不等式对一切实数恒成立，

则，解集为

知识点

复合函数的单调性

题型：填空题

填空题 · 5 分

函数的反函数

正确答案

解析

由函数≥2，可得x=2y-1（y≥2），所以所求的反函数为.

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 12 分

椭圆左右两焦点分别为，且离心率；

（1）设是直线与椭圆的一个交点，求取最小值时椭圆的方程；

（2）已知，是否存在斜率为的直线与（1）中的椭圆交与不同的两点，

正确答案

见解析

解析

（1）

此时，

所以椭圆方程为.

（2）设直线

知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

单选题 · 5 分

双曲线的右是焦点是抛物线的焦点，两曲线的一个公共点为P，且|PF|=5，则该双曲线的离心率为

正确答案

解析

双曲线的右焦点是抛物线的焦点可知，又可知到抛物线的准线的距离为5，可设，根据两点间距离公式可得到，将双曲线方程化为，代入点的坐标并求解关于的一元二次方程，可求得或. 又，可将舍去，可知，即，（或根据双曲线定义得2a=|PF2|－|PF1|=2），综上可知双曲线的离心率为. 故选C.

知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知命题px1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，则p是

Ax1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0

Bx1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0

Cx1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0

Dx1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0

正确答案

解析

命题p为全称命题，所以其否定p应是特称命题，又(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0否定为(f(x2)f(x1))(x2x1)<0，故选C

知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数，，对于任意实数，存在实数使方程成立，则的最大的取值范围是（）

C且

正确答案

解析

这里m,n是独立的，由题设的取值范围是，由，可解得：且，故选Ｃ

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 7 分

如图，矩形在变换的作用下变成了平行四边形，变换所对应的矩阵为，矩阵是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍所对应的变换矩阵。

（1）求；

（2）判断矩阵是否存在特征值。

正确答案

见解析

解析

（1）设，则

故

所以，

，，

（2）因为矩阵MN的特征多项式

的判别式小于0，故矩阵不存在特征值。

知识点

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