复合函数的单调性
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题型：单选题

单选题 · 5 分

把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是（　　）

正确答案

解析

将函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

得到的图象对应的解析式为：y=cosx+1，

再将y=cosx+1图象向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，

得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），

∵曲线y=cos（x+1）由余弦曲线y=cosx左移一个单位而得，

∴曲线y=cos（x+1）经过点（，0）和（，0），且在区间（，）上函数值小于0

由此可得，A选项符合题意。

故选A

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 13 分

今年雷锋日，某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下：

（1）若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；

（2）若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望。

正确答案

见解析

解析

（1）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件，则

答：若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动，他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为. ………………………4分

（2）解法1：的所有取值为0，1，2，3，4.由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为.所以 ………………………6分

; ;

;;

. ………………………11分

随机变量的分布列为：

………………………12分

所以……………………13分

解法2：由题意可知，每位教师选择高一年级的概率均为. …………………5分

则随机变量服从参数为4，的二项分布，即～.……………7分

随机变量的分布列为：

所以 …………………13分

知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的范围是

正确答案

解析

略

知识点

复合函数的单调性

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知数列中,,，则当取得最小值时的值是。

正确答案

6或7

解析

略

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且。

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）设，则，∵∴

即，即，所以动点的轨迹的方程。……………5分

（2）设圆的圆心坐标为，则。 ①

圆的半径为。圆的方程为。

令，则，整理得，。 ②

由①、②解得，。不妨设，， …………9分

∴，。

∴ ， ③

当时，由③得，。

当且仅当时，等号成立，当时，由③得，。

故当时，的最大值为。………………14分

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