复合函数的单调性
共394题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：

已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是.

（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关？

（2）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望.

正确答案

见解析。

解析

（1）

……………3分

由已知数据得：，

所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. ………6分

（2）的可能取值为

……………9分

所以的分布列为：

的数学期望为： ……………12分

知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数的图象是

正确答案

解析

由，得或，在和上是单调增函数，所以选B.

知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

单选题 · 5 分

下列几个命题：

①方程有一个正实根，一个负实根，则a<0;

②函数是偶函数，但不是奇函数；

③函数的定义域是[-2,2]，则函数的定义域为[-1,3];

④一条曲线和直线y=a(a)的公共点个数是m，则m的值不可能是1.其中真命题的个数是

正确答案

解析

①由根与系数关系可得; ②既是奇函数又是偶函数; ③的定义域为; ④画图观察. ①④正确.

知识点

复合函数的单调性

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是

正确答案

解析

略

知识点

复合函数的单调性

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，当时，函数取得极大值.

（１）求实数的值；

（２）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；

（３）已知正数，满足，求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数，都有.

正确答案

见解析

解析

解：（1）. 由，得，此时.

当时，，函数在区间上单调递增；

当时，，函数在区间上单调递减.

函数在处取得极大值，故.

（2）令

则.

函数在上可导，存在，

使得.

，

当时，，单调递增，；

当时，，单调递减，；

故对任意，都有

（3）用数学归纳法证明.

①当时，，且，，

，由（Ⅱ）得，即

，

当时，结论成立.

②假设当时结论成立，即当时，. 当时，设正数满足，令，，则，且.

当时，结论也成立.

综上由①②，对任意，，结论恒成立.

知识点

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