- 集合与常用逻辑用语
- 共2295题
设不等式的解集为.
(1)求集合;
(2)若,∈,试比较与的大小。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)由
所以
(2)由(1)和,
所以
故
知识点
下列函数中,满足“”的单调递增函数是( )
正确答案
解析
知识点
复数 ( )。
正确答案
解析
分母实数化,可求得。
知识点
给定常数,定义函数,数列满足.
(1)若,求及;(2)求证:对任意,;
(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的,若不存在,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)因为,,故,
(2)要证明原命题,只需证明对任意都成立,
即只需证明
若,显然有成立;
若,则显然成立
综上,恒成立,即对任意的,
(3)由(2)知,若为等差数列,则公差,故n无限增大时,总有
此时,
即
故,
即,
当时,等式成立,且时,,此时为等差数列,满足题意;
若,则,
此时,也满足题意;
综上,满足题意的的取值范围是。
知识点
是的共轭复数. 若,((为虚数单位),则( )
正确答案
解析
由于,(z﹣)i=2,可得z﹣=﹣2i ①
又z+=2 ②
由①②解得z=1﹣i
知识点
在直接坐标系中,直线的方程为,曲线的参数方程为(为参数)。
(1)已知在极坐标(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,点的极坐标为(4,),判断点与直线的位置关系;
(2)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值。
正确答案
(1)点P在直线上
(2)
解析
(1)把极坐标系下的点化为直角坐标,得P(0,4)。
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线的方程,
所以点P在直线上,
(2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为,
从而点Q到直线的距离为
,
由此得,当时,d取得最小值,且最小值为
知识点
已知点E、F分别在正方体 的棱上,且, ,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .
正确答案
解析
延长EF交BC的延长线于P,则AP为面AEF与面ABC的交线,因为,所以为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。
知识点
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,.若,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为
正确答案
解析
当x≥0时,
f(x)=,
由f(x)=x﹣3a2,x>2a2,得f(x)>﹣a2;
当a2<x<2a2时,f(x)=﹣a2;
由f(x)=﹣x,0≤x≤a2,得f(x)≥﹣a2。
∴当x>0时,。
∵函数f(x)为奇函数,
∴当x<0时,。
∵对∀x∈R,都有f(x﹣1)≤f(x),
∴2a2﹣(﹣4a2)≤1,解得:。
故实数a的取值范围是。
知识点
已知等差数列满足:=2,且,成等比数列。
(1) 求数列的通项公式。
(2)记为数列的前n项和,是否存在正整数n,使得若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.
正确答案
见解析。
解析
(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),
化简得d2﹣4d=0,解得d=0或4,
当d=0时,an=2,
当d=4时,an=2+(n﹣1)•4=4n﹣2。
(2)当an=2时,Sn=2n,显然2n<60n+800,
此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,
当an=4n﹣2时,Sn==2n2,
令2n2>60n+800,即n2﹣30n﹣400>0,
解得n>40,或n<﹣10(舍去),
此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41,
综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n,
当an=4n﹣2时,存在满足题意的正整数n,最小值为41
知识点
如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=__________.
正确答案
解析
由题意,知,.
又C,F在抛物线y2=2px(p>0)上,
所以
由②÷①,得,即b2-2ba-a2=0,
解得(负值舍去)。
故.
知识点
请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中,生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。
正确答案
测试
请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中,生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。
正确答案
测试
已知函数的图象是折线段,其中、、,
函数()的图象与轴围成的图形的面积为 .
正确答案
解析
根据题意得到,从而得到所以围成的面积为,所以围成的图形的面积为 。
知识点
设是空间中给定的5个不同的点,则使成立的点的个数为( )
正确答案
解析
从特例入手,不妨设,共线,且===,
取为,则==,故存在满足条件的点,下面证明满足题意点只有一个,用反证法:
假设满足题意的除点外还有,则
①
②
①-②得,=,∴,∴与重合,
∴满足条件的点有且只有一个,故选B.
知识点
对任意,的最小值为( )
正确答案
解析
对任意x,y∈R,|x﹣1|+|x|+|y﹣1|+|y+1
=|x﹣1|+|﹣x|+|1﹣y|+|y+1
≥|x﹣1﹣x|+|1﹣y+y+1|=3,
当且仅当x∈[0,],y∈[0,1]成立。
知识点
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