集合与常用逻辑用语_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

“”是“函数有零点”的

A充分非必要条件

B充要条件

C必要非充分条件

D非充分必要条件

正确答案

C

解析

函数有零点，，反之不然。

知识点

四种命题及真假判断

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

略

知识点

四种命题及真假判断

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

若命题“或”与命题“非”都是真命题，则

A命题不一定是假命题

B命题一定是真命题

C命题不一定是真命题

D命题与命题同真同假

正确答案

B

解析

由题可知“非”是真命题，所以是假命题，又因为“或”是真命题，所以是真命题，故选B。

知识点

四种命题及真假判断

1

题型：单选题

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单选题 · 6 分

已知、是简单命题，则“是真命题”是“是假命题”的

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

略

知识点

四种命题及真假判断

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知，，直线：（常数、）使得函数的图象在直线的上方，同时函数的图象在直线的下方，即对定义域内任意，恒成立。

试证明：

（1），且；

（2）“”是“”成立的充分不必要条件。

正确答案

见解析。

解析

（1）依题意，恒成立，所以，因为、是常数，所以当充分大时，，从而。（用反证法亦可）

因为即恒成立，所以，所以。

因为即恒成立，设，则，由得，且时，，单调递减，时，，单调递增，所以的极小值从而也是最小值为，

因为恒成立，所以，即，从而。

（2）方法一，

由（1）知，从而，其中，如图，根据幂函数与对数函数单调性，介于

曲线与的两个交点的横坐标

之间，因为时，，

时，，所以，

“”是“”成立的充分不必要条件。

方法二，由⑴知，从而，其中，设，，解得，，时，，，且；时，，，且；

所以，，从而“”是“”成立的充分不必要条件

知识点

四种命题及真假判断

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：

①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1。

其中真命题的个数为

A1

B2

C3

D4

正确答案

C

解析

设球的球心O到直线AB、CD的距离分别为，利用勾股定理可求出，，所以CD可以经过M，而AB不会经过N，所以①正确，②不正确；又，，所以③④正确，故选C。

知识点

四种命题及真假判断

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

数列满足（）。

①存在可以生成的数列是常数数列；

②“数列中存在某一项”是“数列为有穷数列”的充要条件；

③若为单调递增数列，则的取值范围是；

④只要，其中，则一定存在；

其中正确命题的序号为 .

正确答案

①④

解析

略

知识点

四种命题及真假判断

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

下列说法中，正确的是

A命题“若，则”的逆命题是真命题

B命题“，”的否定是：“，”

C命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题

D已知，则“”是“”的充分不必要条件

正确答案

B

解析

略

知识点

四种命题及真假判断

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：

对于任意两个向量，当且仅当“”或“”，

按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：

①若,则；

②若,则；

③若,则对于任意,；

④对于任意向量，,若，则.

其中真命题的序号为（）

A①②④

B①②③

C①③④

D②③④

正确答案

B

解析

（1）①显然正确

（2）设

由,得“”或“”

,则

若“”且“”,则,所以

若“” 且“”,则,所以

综上所述，若,则所以②正确

（3）设，则

由,得“”或“”

若，则,所以

综上所述，若,则对于任意,所以③正确

（4）

由得 “”或“”

若“”且“”，则,

所以所以

所以④不正确综上所述，①②③正确，选B

知识点

四种命题及真假判断

1

题型：简答题

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简答题 · 20 分

设点F是抛物线‍的焦点，是抛物线L上的n个不同的点‍.

（1）当p=2时，试写出抛物线L上的三个定点的坐标，从而使得

；

（2）当时，若，求证：；

（3）当时，某同学对（2）的逆命题，即：“若，则.”开展了研究并发现其为假命题.

请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：

① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；

② 对任意给定的大于3的正整数n，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）

正确答案

见解析

解析

（1）解：抛物线焦点，准线方程为：.由抛物线定义得

，，，

∴ .

（2）证明：由，，，…，，

，

即.

则

.

（3）经推广的命题：

“当时，若，则.”

其逆命题为：

“当时，若，则”。

该逆命题为假命题。

不妨构造特殊化的一个反例：

设，，抛物线，焦点.由题意知：

；

根据抛物线的定义得：

；

不妨取四点坐标分别为、、、，但

，

所以逆命题是假命题。

知识点

四种命题及真假判断

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知 (其中，是虚数单位)的模不大于，和，若利用构造一个命题“若，则”，试判断该命题及其逆命题的真假，并说明理由。

正确答案

见解析

解析

由得，（4分）

由得，（8分）

由，即，但，∴命题“若则”是假命题（10分）

而其逆命题“若则”是真命题。（12分）

知识点

四种命题及真假判断

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知为互不相等的三个正实数，函数可能满足如下性质：

①为奇函数；②为奇函数；③为偶函数；④为偶函数；⑤，类比函数的对称中心、对称轴与周期的关系，某同学得到了如下结论：

(i)若满足①②，则的一个周期为；(ii)若满足①③；则的一个周期为；(iii)若满足③④，则的一个周期为；(iv)若满足②⑤；则的一个周期为。

其中正确结论的个数为( )。

A1

B2

C3

D4

第Ⅱ卷

正确答案

B

解析

由的图象知，两相邻对称中心的距离为两相邻对称轴的距离为，对称中心与距其最近的对称轴的距离为，若满足①②，则的两个相邻对称中心分别为，，从而有，即；若满足①③，则的对称轴为，与对称轴相邻的对称中心为，有，即；若满足③④，则的两个相邻的对称轴为和，从而有，即；若满足②⑤，则的对称中心为，与其相邻的对称轴为，从而有，即，故只有(iii)(iv)错误。

知识点

四种命题及真假判断

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

下列命题正确的是

A存在x∈R，使得的否定是：不存在x∈R，使得；

B存在x∈R，使得的否定是：任意x∈R，均有

C若x=3，则x2-2x-3=0的否命题是：若x≠3，则x2-2x-3≠0.

D若为假命题，则命题p与q必一真一假

正确答案

C

解析

命题的否定只否定条件不否定结论；而否命题是否定原命题的条件，同时又否定原命题的结论的命题，故正确选项为C。

知识点

四种命题及真假判断

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

“”是“”成立的

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

解析

由得，；由得，因此“”是“”成立的必要不充分条件，所以选B。

知识点

四种命题及真假判断

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

下列说法正确的是

A函数在其定义域上是减函数

B两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件

C命题“，”的否定是“，”

D给定命题，若是真命题，则是假命题

正确答案

D

解析

由减函数的定义易知在其定义域上不是减函数，A错；两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分条件，B错；命题“，”的否定是“，”，C错；由是真命题可知和都是真命题，故一定是假命题，D正确，选D。

知识点

四种命题及真假判断

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