集合与常用逻辑用语
共2295题

集合与常用逻辑用语
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知，函数，。

（1）令，若函数的图象上存在两点、满足（为坐标原点），且线段的中点在轴上，求的取值集合；

（2）若函数存在两个极值点、，求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）

由题意，不妨设，，且，

∴，即，∴。

∵，

∴的取值集合是。

（2）

，。

要使存在两个极值点，则

即在上存在两不等的实根。

令，

∵的图象的对称轴为，∴且。

∴。

由上知。

∴

。

令，，

∴，在上单调递减，

∴ 。

故的取值范围是。

知识点

集合的含义

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知集合A={x∈R||x|≥2}，B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}且R为实数集，则下列结论正确的是（　　）

AA∪B=R

BA∩B≠∅

CA⊆（∁RB）

DA⊇（∁RB）

正确答案

解析

集合A={x∈R||x|≥2}={x∈R|x≥2或x≤﹣2}，B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}={x∈R|﹣1＜x＜2}。

所以A∪B={x∈R|x＞﹣1或x≤﹣2}，所以A错误。

所以A∩B=∅，所以B错误。

∁RB={x∈R|x≥2或x≤﹣1}，所以A⊆（∁RB），所以C正确，D错误。

知识点

集合的含义

题型：单选题

单选题 · 5 分

设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩∁UB=（）

A{4，5}

B {2，3}

C {1}

D {2}

正确答案

解析

解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，

∴∁UB={1，4，5}

A∩∁UB={1，2}∩{1，4，5}={1}

故选C。

知识点

集合的含义

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知集合=｛｝, ,则为（）

C｛1｝

D｛（）｝

正确答案

解析

易知A=｛-1，0，1｝，B=｛1，2｝，故A∩B=｛1｝.

知识点

集合的含义

题型：填空题

填空题 · 5 分

用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为

正确答案

8种

解析

知识点

集合的含义

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知集合，，则( )

正确答案

解析

，，所以，选D。

知识点

集合的含义

题型：单选题

单选题 · 5 分

设变量x，y满足约束条件，则z＝x－3y的最大值为

A-4

D-3

正确答案

解析

画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，要使得，只需直线的纵截距最小，即过点时，取到最大值，最大值为。

知识点

集合的含义

题型：简答题

简答题 · 7 分

已知，，为实数，且

（1）求证：

（2）若求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）由柯西不等式得

即

当且仅当取得等号；…………4分

（2）由已知得

又，

∴，

∴.…………………7分

知识点

集合的含义

题型：单选题

单选题 · 5 分

设集合M={-1,0,1}，N={x | x2 ≤ x}，则M∩N =（）

A{0}

B{0,1}

C{-1,1}

D{-1,0}

正确答案

解析

，。

知识点

集合的含义

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知集合，若，使得成立，则实数b的取值范围是

A[-3,3]

B(-∞,-3)∪(3,+∞)

C[-2,2]

D(-∞,-2)∪(2,+∞)

正确答案

解析

由已知得，直线过点，故当时，，，则时，，使得成立，选B。

知识点

集合的含义

题型：填空题

填空题 · 4 分

将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中，，，若A、B、C中的元素满足条件：，，1,2，…，，则称为“完并集合”。

对于“完并集合”，则集合C的个数是 .

正确答案

解析

因为而，，1,2，…，，所以，且，的最小值为 6所以或或

知识点

集合的含义

题型：简答题

简答题 · 13 分

如图，是以为直径的圆上异于的点，平面平面，，，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线。

（1）求证：直线平面；

（2）直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）证明：分别为中点，，又

……2分又，…4分

又

……6分

（2）解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过垂直面的直线为轴建立空间直角坐标系……7分

则, 设，面的法向量为

则即令得到面的一个法向量为……9分

， ………11分

依题意得

………13分

知识点

集合的含义

题型：简答题

简答题 · 7 分

选修4-5：不等式选讲

已知集合

（1）求A的解集;

（2）若，求的值域

正确答案

见解析。

解析

(1)由不等式几何意义可知的解集为

(2) 的值域为

知识点

集合的含义

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知，，，映射.对于直线上任意一点，，若，我们就称为直线的“友好映射”，称为映射的“友好直线”.又知，则映射的“友好直线”有多少条( )

A无数

正确答案

解析

设直线的方程为，由，代入可得，即，可得解得：，故有2条直线

知识点

集合的含义

题型：简答题

简答题 · 13 分

如图，在中，，，，点是的中点, 求:

（1）边的长；

（2）的值和中线的长.

正确答案

见解析。

解析

（1）由可知是锐角，所以.3分

由正弦定理 ………6分

（2）……9分

由余弦定理: …13分

知识点

集合的含义

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