热门试卷

因为，且 ，

所以．

因为，

由正弦定理，得．…………………6分

由得．

由余弦定理，得．

解得或（舍负）．

所以．                   …………………13分

由已知可得：上班的40个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为0.25，

据此估计此人260个工作日早高峰时段（早晨7点至9点）中度拥堵的天数为

260×0.25=65天.        ……………………………………………………5分

由题意可知的可能取值为．

且；；；

；；

所以．

…………………………………13分

当时, ，．

．

则，而．

所以曲线在点(1,)处的切线方程为，即．

…………………………………………………………………………4分

依题意当时，曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，等价于当时，恒成立．

设，．

所以．

（1）当，即时，当时，，为单调减函数，

所以． 依题意应有

解得所以．

（2）若 ，即时，当，，为单调增函

数，

当，，为单调减函数．

由于，所以不合题意．

（3）当，即时，注意到，显然不合题意．

综上所述，．            …………………………………………13分

当时，，令，,

则, 且对，都有，

所以具有性质．相应的子集为，．      ………… 3分

①若,由已知,

又,所以．所以．

②若,可设，,且，

此时．

所以，且．所以．

③若, ,，

则,

所以．

又因为，所以．所以．

所以．

综上，对于，，都有．     …………… 8分

假设()时，命题成立．即，

且，，都有．

那么 当时，记,，

并构造如下个集合：,,,，

，

显然．

又因为，所以．

下面证明中任意两个元素之差不等于中的任一元素．

①若两个元素,,

则,

所以．

②若两个元素都属于,

由（Ⅱ）可知，中任意两个元素之差不等于中的任一数．

从而，时命题成立．

综上所述，对任意正整数，集合具有性质．………………………13分

如图1，在等腰梯形中，

由，，，为中点，

所以为等边三角形．如图2,

因为为的中点，所以．

又因为平面平面，

且平面平面，

所以平面，所以．………4分

连结，由已知得，又为的中点，

图2

所以．

由（Ⅰ）知平面，

所以，

所以两两垂直．

以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系（如图）．

因为，易知．

所以，

所以．

设平面的一个法向量为，

由   得  即

取，得．

设直线与平面所成角为，

则．

所以直线与平面所成角的正弦值为．   …………………9分

假设在侧棱上存在点，使得平面．

设，．

因为，

所以．

易证四边形为菱形，且，

又由（Ⅰ）可知，，所以平面．

所以为平面的一个法向量．

由，得．

所以侧棱上存在点，使得平面，且．  …………14分

依题意可知，，

所以椭圆离心率为．                 …………… 3分

因为直线与轴，轴分别相交于两点，所以．

令，由得，则．

令，由得，则．

所以的面积．

因为点在椭圆上，所以．

所以．即，则．

所以．

当且仅当，即时，面积的最小值为． … 9分

①当时，．

当直线时，易得，此时，．

因为，所以三点共线．

同理，当直线时，三点共线．

②当时，设点，因为点与点关于直线对称，

所以整理得

解得

所以点．

又因为，， 且

．

所以．所以点三点共线．

综上所述，点三点共线．         …………………………………14分