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题型:填空题
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填空题 · 4 分

14.已知集合,对于它的非空子集,将中每个元素都乘以后再求和,称为的非常元素和,比如的非常元素和为.那么集合的所有非空子集的非常元素和的总和等于(    ) .

正确答案

2560

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

轨迹方程
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

14.已知=

正确答案

-3

解析

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知识点

轨迹方程
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

2. (    )

A

B

C0

D2

正确答案

C

解析

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知识点

轨迹方程
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题型:简答题
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简答题 · 18 分

23.若函数对任意的实数,均有,则称函数具有性质

(1)判断函数是否具有性质,并说明理由;

(2)若函数具有性质,且

①求证:对任意,都有

②是否对任意,均有?若成立,请加以证明;若不成立,请给出反例并加以说明.

正确答案

(1)函数不具有性质

例如,当时,

所以,,此函数不具有性质

(2)①假设中第一个大于的值

因为函数具有性质

所以,对于任意,均有

矛盾

所以,对任意的

②不成立.

例如

证明:当为有理数时,均为有理数,

为无理数时,均为无理数,

所以,函数对任意的,均有

即函数具有性质

为无理数时,

所以“对任意均有”不成立.

解析

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知识点

轨迹方程
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

9. 方程的根所在的区间是(   )

A(0,1)

B(1,2)

C(2,3)

D(3,4)

正确答案

C

解析

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知识点

轨迹方程
1
题型: 单选题
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单选题 · 4 分

16.已知二次函数y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,当a=1,2,…,n,…时,其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2,…,dn,…,则 (d1+d2+…+dn)的值是(    )

A1

B2

C3

D4

正确答案

A

解析

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知识点

轨迹方程
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

如图,在平面直角坐标系中,已知圆,圆

(1)若过点的直线被圆截得的弦长为

,求直线的方程;

(2)设动圆同时平分圆的周长、圆的周长。

①证明:动圆圆心C在一条定直线上运动;

②动圆是否经过定点?若经过,求出定点的

坐标;若不经过,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

:(1)设直线的方程为,即

因为直线被圆截得的弦长为,而圆的半径为1,

所以圆心的距离为

化简,得,解得

所以直线的方程为

(2)①证明:设圆心,由题意,得

化简得

即动圆圆心C在定直线上运动。

②圆过定点,设

则动圆C的半径为

于是动圆C的方程为

整理,得

所以定点的坐标为

知识点

轨迹方程
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

如图,F1和F2分别是双曲线的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为  。

正确答案

解析

连接AF1,则∠F1AF2=90°,∠AF2B=60°

∴|AF1|=

|AF2|=|F1F2|=c,

c﹣c=2a,

∴e==1+

故答案为1+

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轨迹方程
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

21.已知定点(p为常数,p>O),B为x轴负半轴上的一个动点,动点M使得|AM|=|AB|,且线段BM的中点在y轴上。

(I)求动点M的轨迹C的方程;

(2)设EF为曲线C的一条动弦(EF不垂直于x轴),其垂直平分线与x轴交于点T(4,0),当p=2时,求|EF|的最大值。

正确答案

(1)y2=2px(p>0,x≠0)

(2)|EF|的最大值为6

解析

如图,

(1)设M(x,y),则BM的中点G的坐标为,B(﹣x,0).

又A(),故

由题意知GA⊥GM,所以

所以y2=2px

当M点在x轴上时不满足题意,故曲线C的方程为y2=2px(p>0,x≠0);

(2)设弦EF所在直线方程为y=kx+b,E(x1,y1),F(x2,y2

,得:k2x2+(2kb﹣4)x+b2=0①

则线段EF的中点为,即

线段EF的垂直平分线方程为

令y=0,x=4,得,得bk=2﹣2k2,所以

所以

=

=

再由①,△=(2kb﹣4)2﹣4k2b2=4k2b2﹣16kb+16﹣4k2b2=16﹣16kb

=16﹣16(2﹣2k2)=32k2﹣16>0

得:,即0<

所以,当,即k=时,|EF|2取得最大值,最大值等于36,即|EF|的最大值为6

知识点

轨迹方程
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

21.已知函数f(x)=alnx+x2(a为实数).

(Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值;

(Ⅱ)若存在,使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)解:f(x)=alnx+x2的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2x=

当x[1,e]时,2x2[2,2e2].

若a≥-2,f′(x)在[1,e]上非负(仅当a=-2,x=-1时,f′(x)=0),

故f(x)在[1,e]上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;

若-2e2<a<-2,令f′(x)<0,解得1≤x<,此时f(x)单调递减;

令f′(x)>0,解得<x≤e,此时f(x)单调递增,

∴f(x)min=f()=

若a≤-2e2,f′(x)在[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f′(x)=0),

故f(x)在[1,e]上单调递减,此时f(x)min=f(e)=a+e2

综上所述,得a≥-2时,f(x)min=1,相应的x=1;

当-2e2<a<-2时,f(x)min=,相应的x=

当a≤-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的x=e.

(Ⅱ)解:不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-lnx)≥x2-2x.

∵x[1,e],∴lnx≤1≤x且等号不能同时成立,∴lnx<x,即x-lnx>0,

因而a≥,x[1,e],

令g(x)=(x[1,e]),则g′(x)=

当x[1,e]时,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0,

从而g′(x)≥0(仅当x=1时取等号),∴g(x)在[1,e]上是增函数,

故g(x)min=g(1)= -1,∴实数a的取值范围是[-1,+∞).

解析

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知识点

轨迹方程
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