轨迹方程_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

14．已知集合，对于它的非空子集，将中每个元素都乘以后再求和，称为的非常元素和，比如的非常元素和为．那么集合的所有非空子集的非常元素和的总和等于（）．

正确答案

2560

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轨迹方程

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

14．已知=。

正确答案

-3

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轨迹方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

2. （）

A

B

C0

D2

正确答案

C

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轨迹方程

1

题型：简答题

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简答题 · 18 分

23．若函数对任意的实数，均有，则称函数具有性质．

（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；

（2）若函数具有性质,且．

①求证：对任意，都有；

②是否对任意，均有？若成立，请加以证明；若不成立，请给出反例并加以说明．

正确答案

（1）函数不具有性质．

例如，当时，，

又，

所以，，此函数不具有性质．

（2）①假设为中第一个大于的值

则，

因为函数具有性质，

所以，对于任意，均有

即，

则，

与矛盾

所以，对任意的有．

②不成立．

例如

证明：当为有理数时，均为有理数，

，

当为无理数时，均为无理数，

所以，函数对任意的，均有，

即函数具有性质．

当且为无理数时，．

所以“对任意均有”不成立．

如，，等

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轨迹方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9. 方程的根所在的区间是（）

A（0，1）

B（1，2）

C（2，3）

D（3，4）

正确答案

C

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轨迹方程

1

题型：单选题

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单选题 · 4 分

16．已知二次函数y=a（a+1）x2－（2a+1）x+1，当a=1，2，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1，d2，…，dn，…，则（d1+d2+…+dn）的值是（）

A1

B2

C3

D4

正确答案

A

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轨迹方程

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：。

（1）若过点的直线被圆截得的弦长为

，求直线的方程；

（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长。

①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；

②动圆是否经过定点？若经过，求出定点的

坐标；若不经过，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

解：（1）设直线的方程为，即。

因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，

所以圆心到：的距离为。

化简，得，解得或。

所以直线的方程为或。

（2）①证明：设圆心，由题意，得，

即。

化简得，

即动圆圆心C在定直线上运动。

②圆过定点，设，

则动圆C的半径为。

于是动圆C的方程为。

整理，得。

由得或

所以定点的坐标为，。

知识点

轨迹方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为　　。

正确答案

解析

连接AF1，则∠F1AF2=90°，∠AF2B=60°

∴|AF1|=，

|AF2|=|F1F2|=c，

∴c﹣c=2a，

∴e==1+

故答案为1+

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轨迹方程

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

21.已知定点（p为常数，p＞O），B为x轴负半轴上的一个动点，动点M使得|AM|=|AB|，且线段BM的中点在y轴上。

（I）求动点M的轨迹C的方程；

（2）设EF为曲线C的一条动弦（EF不垂直于x轴），其垂直平分线与x轴交于点T（4，0），当p=2时，求|EF|的最大值。

正确答案

（1）y2=2px（p＞0，x≠0）

（2）|EF|的最大值为6

解析

如图，

（1）设M（x，y），则BM的中点G的坐标为，B（﹣x，0）．

又A（），故．

由题意知GA⊥GM，所以，

所以y2=2px

当M点在x轴上时不满足题意，故曲线C的方程为y2=2px（p＞0，x≠0）；

（2）设弦EF所在直线方程为y=kx+b，E（x1，y1），F（x2，y2）

由，得：k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0①

则

则线段EF的中点为，即

线段EF的垂直平分线方程为

令y=0，x=4，得，得bk=2﹣2k2，所以

所以

=

再由①，△=（2kb﹣4）2﹣4k2b2=4k2b2﹣16kb+16﹣4k2b2=16﹣16kb

=16﹣16（2﹣2k2）=32k2﹣16＞0

得：，即0＜

所以，当，即k=时，|EF|2取得最大值，最大值等于36，即|EF|的最大值为6

知识点

轨迹方程

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实数）．

（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值及相应的x值；

（Ⅱ）若存在，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）解：f（x）=alnx+x2的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x=．

当x[1，e]时，2x2[2，2e2]．

若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=-1时，f′（x）=0），

故f（x）在[1，e]上单调递增，此时f（x）min=f（1）=1；

若-2e2<a<-2，令f′（x）<0，解得1≤x<，此时f（x）单调递减；

令f′（x）>0，解得<x≤e，此时f（x）单调递增，

∴f（x）min=f（）=；

若a≤-2e2，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e2，x=e时，f′（x）=0），

故f（x）在[1，e]上单调递减，此时f（x）min=f（e）=a+e2．

综上所述，得a≥-2时，f（x）min=1，相应的x=1；

当-2e2<a<-2时，f（x）min=，相应的x=；

当a≤-2e2时，f（x）min=a+e2，相应的x=e．

（Ⅱ）解：不等式f（x）≤（a+2）x可化为a（x-lnx）≥x2-2x．

∵x[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时成立，∴lnx<x，即x-lnx>0，

因而a≥，x[1，e]，

令g（x）=（x[1，e]），则g′（x）=，

当x[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx>0，

从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），∴g（x）在[1，e]上是增函数，

故g（x）min=g（1）= -1，∴实数a的取值范围是[-1，+∞）．

解析

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