- 轨迹方程
- 共25题
14.已知集合,对于它的非空子集,将中每个元素都乘以后再求和,称为的非常元素和,比如的非常元素和为.那么集合的所有非空子集的非常元素和的总和等于( ) .
正确答案
2560
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
14.已知=。
正确答案
-3
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
2. ( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
23.若函数对任意的实数,均有,则称函数具有性质.
(1)判断函数是否具有性质,并说明理由;
(2)若函数具有性质,且 .
①求证:对任意,都有;
②是否对任意,均有?若成立,请加以证明;若不成立,请给出反例并加以说明.
正确答案
(1)函数不具有性质.
例如,当时,,
又,
所以,,此函数不具有性质.
(2)①假设为中第一个大于的值
则,
因为函数具有性质,
所以,对于任意,均有
即,
则,
与矛盾
所以,对任意的有.
②不成立.
例如
证明:当为有理数时,均为有理数,
,
当为无理数时,均为无理数,
所以,函数对任意的,均有,
即函数具有性质.
当且为无理数时,.
所以“对任意均有”不成立.
如,,等
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
9. 方程的根所在的区间是( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
16.已知二次函数y=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,当a=1,2,…,n,…时,其抛物线在x轴上截得的线段长依次为d1,d2,…,dn,…,则 (d1+d2+…+dn)的值是( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
如图,在平面直角坐标系中,已知圆:,圆:。
(1)若过点的直线被圆截得的弦长为
,求直线的方程;
(2)设动圆同时平分圆的周长、圆的周长。
①证明:动圆圆心C在一条定直线上运动;
②动圆是否经过定点?若经过,求出定点的
坐标;若不经过,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
解:(1)设直线的方程为,即。
因为直线被圆截得的弦长为,而圆的半径为1,
所以圆心到:的距离为。
化简,得,解得或。
所以直线的方程为或。
(2)①证明:设圆心,由题意,得,
即。
化简得,
即动圆圆心C在定直线上运动。
②圆过定点,设,
则动圆C的半径为。
于是动圆C的方程为。
整理,得。
由得或
所以定点的坐标为,。
知识点
如图,F1和F2分别是双曲线的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为 。
正确答案
解析
连接AF1,则∠F1AF2=90°,∠AF2B=60°
∴|AF1|=,
|AF2|=|F1F2|=c,
∴c﹣c=2a,
∴e==1+
故答案为1+
知识点
21.已知定点(p为常数,p>O),B为x轴负半轴上的一个动点,动点M使得|AM|=|AB|,且线段BM的中点在y轴上。
(I)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设EF为曲线C的一条动弦(EF不垂直于x轴),其垂直平分线与x轴交于点T(4,0),当p=2时,求|EF|的最大值。
正确答案
(1)y2=2px(p>0,x≠0)
(2)|EF|的最大值为6
解析
如图,
(1)设M(x,y),则BM的中点G的坐标为,B(﹣x,0).
又A(),故.
由题意知GA⊥GM,所以,
所以y2=2px
当M点在x轴上时不满足题意,故曲线C的方程为y2=2px(p>0,x≠0);
(2)设弦EF所在直线方程为y=kx+b,E(x1,y1),F(x2,y2)
由,得:k2x2+(2kb﹣4)x+b2=0①
则
则线段EF的中点为,即
线段EF的垂直平分线方程为
令y=0,x=4,得,得bk=2﹣2k2,所以
所以
=
=
再由①,△=(2kb﹣4)2﹣4k2b2=4k2b2﹣16kb+16﹣4k2b2=16﹣16kb
=16﹣16(2﹣2k2)=32k2﹣16>0
得:,即0<
所以,当,即k=时,|EF|2取得最大值,最大值等于36,即|EF|的最大值为6
知识点
21.已知函数f(x)=alnx+x2(a为实数).
(Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值及相应的x值;
(Ⅱ)若存在,使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)解:f(x)=alnx+x2的定义域为(0,+∞),f′(x)=+2x=.
当x[1,e]时,2x2[2,2e2].
若a≥-2,f′(x)在[1,e]上非负(仅当a=-2,x=-1时,f′(x)=0),
故f(x)在[1,e]上单调递增,此时f(x)min=f(1)=1;
若-2e2<a<-2,令f′(x)<0,解得1≤x<,此时f(x)单调递减;
令f′(x)>0,解得<x≤e,此时f(x)单调递增,
∴f(x)min=f()=;
若a≤-2e2,f′(x)在[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f′(x)=0),
故f(x)在[1,e]上单调递减,此时f(x)min=f(e)=a+e2.
综上所述,得a≥-2时,f(x)min=1,相应的x=1;
当-2e2<a<-2时,f(x)min=,相应的x=;
当a≤-2e2时,f(x)min=a+e2,相应的x=e.
(Ⅱ)解:不等式f(x)≤(a+2)x可化为a(x-lnx)≥x2-2x.
∵x[1,e],∴lnx≤1≤x且等号不能同时成立,∴lnx<x,即x-lnx>0,
因而a≥,x[1,e],
令g(x)=(x[1,e]),则g′(x)=,
当x[1,e]时,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0,
从而g′(x)≥0(仅当x=1时取等号),∴g(x)在[1,e]上是增函数,
故g(x)min=g(1)= -1,∴实数a的取值范围是[-1,+∞).
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
扫码查看完整答案与解析