热门试卷

（Ⅰ）解：f（x）=alnx+x2的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x=．

当x[1，e]时，2x2[2，2e2]．

若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=-1时，f′（x）=0），

故f（x）在[1，e]上单调递增，此时f（x）min=f（1）=1；

若-2e2<a<-2，令f′（x）<0，解得1≤x<，此时f（x）单调递减；

令f′（x）>0，解得<x≤e，此时f（x）单调递增，

∴f（x）min=f（）=；

若a≤-2e2，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e2，x=e时，f′（x）=0），

故f（x）在[1，e]上单调递减，此时f（x）min=f（e）=a+e2．

综上所述，得a≥-2时，f（x）min=1，相应的x=1；

当-2e2<a<-2时，f（x）min=，相应的x=；

当a≤-2e2时，f（x）min=a+e2，相应的x=e．

（Ⅱ）解：不等式f（x）≤（a+2）x可化为a（x-lnx）≥x2-2x．

∵x[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时成立，∴lnx<x，即x-lnx>0，

因而a≥，x[1，e]，

令g（x）=（x[1，e]），则g′（x）=，

当x[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx>0，

从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），∴g（x）在[1，e]上是增函数，

故g（x）min=g（1）= -1，∴实数a的取值范围是[-1，+∞）．