- 双曲线及其性质
- 共531题
双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
正确答案
解析
略
知识点
已知函数。
(1)若,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)求的极值;
(3)若函数的图象与函数
的图象在区间
上有公共点,求实数
的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1),
且
,
又,
,
在点
处的切线方程为:
,
即,
(2)的定义域为
,
, 令
得
。
当时,
,
是增函数;
当时,
,
是减函数;
在
处取得极大值,即
,
(3)(i)当,即
时,
由(2)知在
上是增函数,在
上是减函数,
当时,
取得最大值,即
。
又当时,
,
当时,
,当
时,
,
所以,的图像与
的图像在
上有公共点,
等价于,解得
,又因为
,所以
,
(ii)当,即
时,
在
上是增函数,
在
上的最大值为
,
原问题等价于,解得
,又
无解
综上,的取值范围是
,
知识点
已知双曲线的焦距为10 ,点
在C的渐近线上,则C的方程为
正确答案
解析
设双曲线C :-
=1的半焦距为
,则
.
又C 的渐近线为
,点P (2,1)在C 的渐近线上,
,即
.
又,
,
C的方程为
-
=1.
知识点
已知双曲线(
),与抛物线
的准线交于
两点,
为坐标原点,若
的面积等于
,则
( )。
正确答案
解析
略
知识点
如图,已知椭圆的离心率为
,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设
为该双曲线上异于顶点的任一点,直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)设直线、
的斜率分别为
、
,证明
;
(3)是否存在常数,使得
恒成立?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)设椭圆的半焦距为,由题意知,
,又
,
所以 ,
,
又,因此
。
故椭圆的标准方程为。
由题意设等轴双曲线的方程因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点,所以
因此 双曲线的标准方程为。
(2)设,
则 ,
因为 点在双曲线
上,所以
。
因此 ,
即 。
(3)由于的方程为
,将其带入椭圆方程得
,
由根与系数的关系得
所以
。
同理可得。
则 ,
又 ,
所以 。
故。
因此 存在,使
恒成立。
知识点
直线为双曲线
的一条渐近线,则双曲线
的离心率是( )
正确答案
解析
略
知识点
已知双曲线与椭圆
有相同的焦点,
且双曲线的渐近线方程为
,则双曲线
的方程为 。
正确答案
解析
略
知识点
已知曲线.
(1)若曲线C在点处的切线为
,求实数
和
的值;
(2)对任意实数,曲线
总在直线
:
的上方,求实数
的取值范围。
正确答案
(1) ,
(2)b的取值范围是
解析
(1), --------------------------------2分
因为曲线C在点(0,1)处的切线为L:,
所以且
. -------------------------------4分
解得,
--------------------------------5分
(2)法1:
对于任意实数a,曲线C总在直线的的上方,等价于
x,
,都有
,即
x,
R,
恒成立, ---------6分
令, -------------------------------------7分
①若a=0,则,
所以实数b的取值范围是; -------------------------------------8分
②若,
,
由得
, --------------------------------------9分
的情况如下:
------------------------------------11分
所以的最小值为
, -------------------------------------12分
所以实数b的取值范围是;
综上,实数b的取值范围是, ---------------------------------13分
法2:对于任意实数a,曲线C总在直线的的上方,等价于
x,
,都有
,即
x,
R,
恒成立, -------------------------------------6分
令,则等价于
,
恒成立,
令,则
, -------------------------------------7分
由得
, -----------------------------------9分
的情况如下:
------------------------------------11分
所以 的最小值为
, -------------------------------------12分
实数b的取值范围是, --------------------------------------13分
知识点
已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )
正确答案
解析
设双曲线E的方程为,A(
,
),B(
,
),则
,
(1)-(2)得 ,
所以,又
,解得
,
。因此双曲线E的方程为
。
知识点
已知,点
在曲线
上,若线段
与曲线
相交且交点恰为线段
的中点,则称
为曲线
关于曲线
的一个关联点.记曲线
关于曲线
的关联点的个数为
,则()
正确答案
解析
略
知识点
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