热门试卷

（1）设，因为点M为弦AB的中点，则

且有，两式相减得：，即

（2）（i）斜率为的直线与椭圆交于不同的A、B两点，直线与直线的交点为M，（，且），若点M为弦AB的中点，则

逆命题：斜率为的直线与椭圆交于不同的A、B两点，直线与直线的交点为M，（，且），若，则点M为弦AB的中点。

证明如下：设直线的方程为，，联立方程

得

，所以弦的中点坐标为，

将代入直线得，又，所以

即点M为弦AB的中点。

（ii）斜率为的直线与双曲线交于不同的A、B两点，直线与直线的交点为M，（，且），点M为弦AB的中点的充要条件为

（1）设，，则。，，

，故点的轨迹方程：.                                              

（2）①当直线的斜率不存在时，设。

则，，，不合题意。                       

②当直线的斜率存在时，设，,

联立方程，得。

，，。                  

又，

即。

将，代入上式，得。

直线过定点。                                                                                                      

      。        

令，即，。

当且仅当时，。     

（1）设，（）.

易知斜率存在，设为，则方程为.

由得， ①

由直线与抛物线相切，知.

于是，，方程为.

同理，方程为.

联立、方程可得点坐标为 ，

∵  ，方程为，

过抛物线的焦点.

∴  ，.

∴ ，点在定直线上.

或解：设，，则方程为，方程为.

∴  点，坐标满足方程.

∴  直线方程为.

由直线过点，知.

∴  .点在定直线上。

（2）由（1）知，、的坐标分别为、.

∴  .

∴  .

设（），，

由知，，当且仅当时等号成立.

∴  .

设，则.

∴  时，；时，.在区间上为减函数；

在区间上为增函数.

∴  时，取最小值.

∴  当，，

即，时，面积取最小值。