双曲线及其性质
共531题

双曲线及其性质
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题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知,，点满足，记点的轨迹为，过点作直线与轨迹交于两点，过作直线的垂线、，垂足分别为，记。

（1）求轨迹的方程；

（2）设点，求证：当取最小值时，的面积为．

正确答案

解：

（1）由|PF1|－|PF2|＝2＜|F1F2|知，点P的轨迹S是以F1、F2为焦点的双曲线右支．

由c＝2,2a＝2，∴b2＝3．故轨迹S的方程为x2－＝1 (x≥1)

（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)

与双曲线方程联立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0．

∴ 解得k2＞3．

|AP|·|BQ|＝＝(2x1－1)(2x2－1)

＝[4x1x2－2(x1＋x2)＋1]＝x1x2－＋

＝－＋＝＋＝＋＞．

当斜率不存在时，|AP|·|BQ|＝，∴λ的最小值为．

此时，|PQ|＝6，|MF2|＝3，S△PMQ＝|MQ|·|PQ|＝9．

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知识点

双曲线的定义及标准方程直线与双曲线的位置关系定义法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

6．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．则当时，的表达式为（）

正确答案

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知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）

正确答案

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双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

12. 已知双曲线：的离心率为,若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（）

D[来源:Z_

正确答案

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双曲线的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（，0）

（I）求双曲线C的方程；

（II）若直线与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，－1），求实数m的取值范围

正确答案

解：

（I）设双曲线方程为

由已知得

故双曲线C的方程为

（II）联立

直线与双曲线有两个不同的交点，

可得 ①

整理得3k2=4m+1 ②
将②代入①，得m2－4m>0，∴m<0或m>4

又3k2=4m+1>0（k≠0），即m>－

∴m的取值范围是（－，0）∪（4，+∞）

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题型：填空题

填空题 · 5 分

6．与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是（）

正确答案

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双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

10．若双曲线的一条渐近线被圆（x－2）2＋y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为（）

正确答案

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知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

2．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则实数的值是（）

正确答案

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双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

7．在平面直角坐标系xOy中，已知y=x是双曲线=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为（）

正确答案

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由题意，∴．

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，且的中点的横坐标为,则此双曲线的方程式为（）

正确答案

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双曲线的定义及标准方程

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