双曲线及其性质
共531题

双曲线及其性质
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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为

正确答案

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知F1，F2是双曲线E:的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为

正确答案

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

13.双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=_______________.

正确答案

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

5.已知方程=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是

A(–1,3)

B(–1,)

C(0,3)

D(0,)

正确答案

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

5.已知方程=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 ( )

A(–1,3)

B(–1,)

C(0,3)

D(0,)

正确答案

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

13.已知双曲线E1：（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.

正确答案

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

6.已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）

正确答案

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

13.已知双曲线E1：（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.

正确答案

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

设椭圆E的方程为点O为坐标原点，点A的坐标为,点B的坐标为（0，b）,点M在线段AB上，满足直线OM的斜率为.

25.求E的离心率e;

26.设点C的坐标为（0，-b）,N为线段AC的中点，证明：MNAB.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

（Ⅰ）解：由题设条件知，点，又从而.

进而，故.

证：由是的中点知，点的坐标为，可得.

又，从而有

由（Ⅰ）得计算结果可知所以，故.

考查方向

本题主要考查椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系等基础知识.

解题思路

由题设条件，可得点的坐标为，利用，从而，进而得，算出.

易错点

计算能力弱，圆锥曲线相关知识掌握不牢固，不系统

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

（Ⅱ）证：由是的中点知，点的坐标为，可得.

又，从而有

由（Ⅰ）得计算结果可知所以，故.

考查方向

本题主要考查椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系等基础知识.

解题思路

利用向量的坐标表示求解，得到坐标数量积为0，进而得到线段垂直。

易错点

圆锥曲线的相关性质、概念、公式记忆错误，计算能力弱

题型：填空题

填空题 · 5 分

13.双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_______________.

正确答案

解析

考查方向

双曲线的性质.

解题思路

在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，渐近线方程与双曲线方程的待定系数之间的关系是考查的重点内容，双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.

易错点

双曲线渐近线方程与双曲线方程待定系数之间的关系

知识点

双曲线的定义及标准方程

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