双曲线及其性质_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

试题分析：表示双曲线，则

∴，由双曲线性质知：，其中是半焦距

∴焦距,解得，∴，故选A.

考查方向

本题主要考查了双曲线的定义及性质，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与双曲线的定义、标准方程、性质等知识点交汇命题。

解题思路

根据双曲线的定义及性质即可求解。

易错点

不注意双曲线的焦距是2c不是c,这一点易出错。

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

3.在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是．

正确答案

；

解析

【解析】，因此焦距为．

考查方向

双曲线性质

解题思路

根据双曲线的性质以及求解。

易错点

双曲线中，不要与椭圆中的关系混淆。

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

渐近线

设，则，

∴，∴，∴，∴

∴

考查方向

本题主要考查了双曲线的渐近线方程、标准方程等知识点，为高考常考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与双曲线的定义、性质等知识点交汇命题。

解题思路

设出B点坐标，根据题中条件“四边形的ABCD的面积为2b”即可求出八，进而求出双曲线的标准方程.

易错点

不知如何应用“四边形的ABCD的面积为2b”导致本题无思路。

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于两点．

23.若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

24.设，若的斜率存在，且，求的斜率．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由已知，

取，得

∵，

∴

即

∴

∴渐近线方程为

考查方向

双曲线的方程及其性质

解题思路

利用等边三角形及双曲线相关知识求双曲线方程；

易错点

计算错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

若，则双曲线为

∴，

设，，则

，，

∴

(*)

∵

∴

∴代入(*)式，可得

直线的斜率存在，故

∴

设直线为，代入

得

∴，且

∴

∴直线的斜率为

考查方向

直线与圆锥曲线位置关系，向量运算．

解题思路

利用向量运算、直线与圆锥曲线位置关系、二次方程根与系数关系计算求解．

易错点

向量关系进行转化

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

10．已知双曲线的一条渐近线为，则_____．

正确答案

解析

双曲线的渐近线方程为，，,则

考查方向

本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.

解题思路

本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”，利用已知渐近线方程，求出参数的值.

易错点

渐近线方程的准确运用

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

3．若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（）

A11

B9

C5

D3

正确答案

B

解析

由双曲线定义得，即，解得，故选B．

考查方向

双曲线的标准方程和定义．

解题思路

确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论。

易错点

计算能力弱，双曲线焦点坐标不会求

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知椭圆E：过点，且离心率为．

20.求椭圆E的方程；

21.设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

（Ⅰ）由已知得

解得

所以椭圆E的方程为．

考查方向

1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．

解题思路

根据题意找到等量关系，建立关于参数的三元方程组，求得a b c的值

易错点

椭圆的性质掌握不好，计算能力弱

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ） G在以AB为直径的圆外．

解析

（Ⅱ）设点AB中点为．

由

所以从而.

所以.

,

故

所以，故G在以AB为直径的圆外．

考查方向

1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．

解题思路

根据条件设出参数，然后根据参数间的等量关系建立方程，求解方程，进而达到参数的值，然后判断点和圆的位置关系。

易错点

计算能力弱，直线和圆锥曲线的综合求解能力弱

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C.

考查方向

1.双曲线的渐近线.

解题思路

根据选项逐一求解

易错点

计算错误，对渐近线方程形式记忆混淆

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意知渐近线的方程为，由点在渐近线上，所以，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上所以，由此可以解得，所以双曲线的方程为。

考查方向

1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.

解题思路

根据已知条件构造方程组解出即可。

易错点

不会转化已知条件。

知识点

双曲线的定义及标准方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13.已知双曲线E1：（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.

正确答案

2

解析

由已知易得，，所以，，由，得离心率或（舍去），所以离心率为2.

考查方向

双曲线的性质，离心率的求法，推理分析与计算求解能力，难度中等。

解题思路

根据双曲线的性质设出A、B点的坐标涉及到的两个线段的长度表示出来，结合题给等量关系求解。

易错点

注意双曲线离心率的取值范围e>1。

知识点

双曲线的定义及标准方程

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