双曲线及其性质_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.

23.求的值；

24.过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）;

解析

(Ⅰ)因为抛物线与轴交于点，所以

由因为，所以椭圆方程为

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

先根据抛物线与x轴的交点求出b的值，后利用离心率求出a的值；

易错点

不知道抛物线与x轴的交点即为b的值；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

(Ⅱ)因为，若过点的直线斜率不存在时，不满足题意，所以直线斜率存在，

设直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立，所以，所以联立所以，所以

由

化简得，所以，所以直线的方程为即

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

设出直线的方程后分别与椭圆和抛物线的方程联立消元导出求出P,Q 的坐标后带入解方程即可。

易错点

不会转化，导致问题找不到突破口。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9．等腰直角三角形ABC中，A＝90°，A，B在双曲线E的同一支上，且线段AB通过双曲线的一个焦点，C为双曲线E的另一个焦点，则该双曲线的离心率为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设，由等腰三角形和双曲线的定义，得，，，则，则，在中，，则，即，即，则该双曲线的离心率为；所以选B选项.

考查方向

本题主要考查了双曲线的定义，在近几年的各省高考题中出现的频率较高，常与解三角形、数列等知识交汇命题.

解题思路

1)利用等腰三角形和双曲线的定义得到相关边的长度；

2)利用勾股定理和离心率公式进行求解.

易错点

本题易在选择双曲线的定义出现错误，易忽视双曲线的定义的灵活运用.

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．经过点（2，1），且渐近线与圆相切的双曲线的标准方程为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

设渐近线方程为则根据题意得圆心

∴渐近线为

∴设双曲线方程为

考查方向

本题主要考察了双曲线的定义和方程，考察了双曲线的几何意义，考察了直线和圆的位置关系，难度系数不高，

解题思路

1）设渐近线方程（无法确定焦点位置）利用直线和圆的位置关系求渐近线

2）利用渐近线写出含参双曲线方程，带入坐标直接得出结果

易错点

本题易在双曲线焦点的判断

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15.已知分别为双曲线的两条渐近线，且右焦点关于的对称点在上，则双曲线的离心率为 .

正确答案

2

解析

由题意得的方程分别为，右焦点的坐标为（c,0）,设右焦点关于的对称点的坐标为（m,n）,则，解得，又（m,n）在上，所以，化简得，所以，得离心率为2.

考查方向

本题主要考查双曲线的几何性质等知识，意在考查考生的数形结合能力和运算求解能力。

解题思路

1.先根据题意先表示出的方程分别为，右焦点的坐标为（c,0），设出对称点的坐标为（m,n）求出；2.将点（m,n）带入得到a,b之间的关系即可求出离心率。

易错点

1.点（m,n）的坐标求错；2.不会建立关于a,b,c之间的关系。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径作

圆交双曲线的渐近线于两点，（异于原点），若，则双曲线的离

心率为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意作图

考查方向

本题考察了双曲线的几何性质，考察了圆的几何性质，考察了向量的平行四边形法则，考察了数量积运算，属于中档题

解题思路

1、根据题意画出简图

2、找到向量的性质直接得出a，b的关系

易错点

主要易错于圆的性质的判断，以及向量的几何意义的判断

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．椭圆的右焦点为，双曲线的一条渐近线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率为 ____________.

正确答案

解析

不妨设双曲线的一条渐近线的渐近线为，记椭圆的左焦点为，依题意得四边形为矩形，是正三角形，，，椭圆的离心率为.

考查方向

本题主要考查椭圆的定义、几何性质，双曲线的定义及简单几何性质等知识，意在考查考生的运算求解能力和转化的能力.

解题思路

1.先求出双曲线的渐近线方程；2.根据得到四边形为矩形，是正三角形，，，后利用椭圆的定理即可得到其离心率。

易错点

1.对于题中给出的条件不知道该如何使用；2.考虑不到椭圆的定义导致运算很复杂。

知识点

椭圆的定义及标准方程双曲线的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂线的延长线与轴的交点坐标为，则此双曲线的离心率是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

设,由题意得到MF垂直于渐近线，所以，化简得，所以，离心率为，故选D。

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质，两条直线的位置关系等知识，意在考查考生数形结合的能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.根据直线间的垂直关系求出，进而求出；2.带入离心率的公式求解即可。

易错点

1.不会转化过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线这个条件；2，图形语言的转化有障碍。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9．已知双曲线的左右焦点分别为，，若上存在点使为等腰三角形，且其顶角为，则的值是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

因为是等腰三角形，且顶角为，，

由平面几何知识得，，根据双曲线的定义得，由双曲线的离心率得

，两边平方，得，故选D.

考查方向

本题主要考查了双曲线的几何性质、定义以及简单的平面几何知识，是圆锥曲线中很重要的考察对象，是高频考点。

解题思路

先画等腰三角形，利用平面几何知识以及双曲线的定义表示出离心率，即可解决问题。

易错点

不会画等腰三角形或不会用双曲线的定义解决问题。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由题意，由双曲线的对称性知在轴上，设，由得，解得，

所以，

因此渐近线的斜率取值范围是，选A.

考查方向

本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定D到直线BC的距离是关键．.

解题思路

求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于的不等式，根据已知条件和双曲线中的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于的不等关系，解不等式可得所求范围．

易错点

解题中要注意椭圆与双曲线中关系的不同．

知识点

双曲线的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意知：，由直线的倾斜角为得即，所以解得舍），故选C。

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的通径、离心率的求法等知识，意在考查考生的数形结合能力和运算求解能力。

解题思路

1.先根据题意求出M点到坐标；2.根据直线的倾斜角为得即，得到关于离心离的等式解方程即可。

易错点

1.不会求M点的坐标；

2.不会转化题中的倾斜角为45度。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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正确答案

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考查方向

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