双曲线及其性质
共531题

双曲线及其性质
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题型：简答题

简答题 · 14 分

设双曲线C：（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（，0），离心率， A、B是双曲线上的两点，AB的中点M（1，2）。

（1）求双曲线C的方程；

（2）求直线AB方程；

（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？

正确答案

见解析。

解析

（1）依题意得，解得a=1.

所以，

故双曲线C的方程为.

（2）设，则有。

两式相减得：，

由题意得，，，

所以，即.

故直线AB的方程为.

（3）假设A、B、C、D四点共圆，且圆心为P. 因为AB为圆P的弦，所以圆心P在AB垂直平分线CD上；又CD为圆P的弦且垂直平分AB，故圆心P为CD中点M.

下面只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可。

由得：A（-1，0），B（3，4）.

由（1）得直线CD方程：，

由得：C（-3+，6-），D（-3-，6+），

所以CD的中点M（-3，6）.

因为，，

，，

所以，

即 A、B、C、D四点在以点M（-3，6）为圆心，为半径的圆上.

知识点

直线的一般式方程双曲线的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知双曲线的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（） .

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

双曲线的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为

C或

D或

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的性质及应用椭圆的几何性质双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知P是中心在原点，焦距为的双曲线上一点，且的取值范围为，则该双曲线方程是

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

正确答案

解析

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知双曲线C的渐近线方程为，右焦点到渐近线的距离为.

（1）求双曲线C的方程；

（2）过F作斜率为k的直线交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证：为定值。

正确答案

见解析。

解析

（1）设双曲线方程为

由题知

双曲线方程为：

（2）设直线的方程为代入

整理得设的中点

则代入得：

AB的垂直平分线方程为

令得

为定值。

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知双曲线的焦距为，且过点，则它的渐近线方程为（）.

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

以双曲线的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _____.

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

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