- 双曲线及其性质
- 共531题
若双曲线的左、右顶点分别为
,点
是第一象限内双曲线上的点,若直线
的倾斜角分别为
,且
,那么
的值是( )
正确答案
解析
∵双曲线的方程为,
,∴双曲线的左顶点为
,右顶点为
,设
,得直线
的斜率
,直线
的斜率
,∴
①,∵
是双曲线
上的点,∴
,得
,代人①式得
,∵直线
的倾斜角分别为
,所以
,∴
,∵
是第一象限内双曲线上的点,易知
均为锐角,∴
,解得
,故选D。
知识点
在平面直角坐标系xOy中,点F是双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,过F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为A,延长FA与另一条渐近线交于点B,若
=2
,则双曲线的离心率为 。
正确答案
2
解析
如图因为=2
,所以A为线段FB的中点,∴∠2=∠4,又∠1=∠3,
∠2+∠3=90°,所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3。
故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒。
∴,e2=4⇒e=2。
知识点
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0 ≤ α < π)。以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ = 4sinθ。
(1)求直线 l 与曲线C的平面直角坐标方程;
(2)设直线 l 与曲线C交于不同的两点A、B,若,求α的值。
正确答案
见解析
解析
(1)直线普通方程为
曲线的极坐标方程为
,则
…………5分
(2)将代入曲线
…………7分
……9分
或
…………10分
知识点
已知椭圆的离心率为
,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线
相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过右焦点作斜率为
的直线
交曲线
于
、
两点,且
,又点
关于原点
的对称点为点
,试问
、
、
、
四点是否共圆?若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)由题意可得圆的方程为,
∵直线与圆相切,∴
,即
, --------2分
又,及
,得
,所以椭圆方程为
。------4分
(2)因直线过点
,且斜率为
,故有
联立方程组,消去
,得
-----------6分
设、
,可得
,于是
.
又,得
即
-----------8分
而点与点
关于原点对称,于是,可得点
若线段、
的中垂线分别为
和
,
,则有
联立方程组,解得
和
的交点为
-----------10分
因此,可算得
所以、
、
、
四点共圆,且圆心坐标为
半径为
-----12分
知识点
是双曲线
左准线上一点,
分别是其左、右焦点,
与双曲线右支交于点Q,且
,则
的值为( )
正确答案
解析
设Q的横坐标为x,因为得x=
,由双曲线的第二定义得
.
知识点
由曲线围成的图形的面积为_______。
正确答案
解析
解析:围成的图形如图,面积为
知识点
已知双曲线的右顶点为A,右焦点为F,右准线与
轴交于点B,且与一条渐近线交于点C,点O为坐标原点,又
,
过点F的直线与双曲线右交于点M、N,点P为点M关于
轴的对称点。
(1)求双曲线的方程;
(2)证明:B、P、N三点共线;
(3)求面积的最小值。
正确答案
见解析
解析
解析:(1)易得双曲线方程为
(2)由(1)可知得点设直线L的方程为:
由: 可得
设
所以 所以
因为
=
=
=0
所以向量共线。所以B, P,N三点共线
(3)因为 直线L与双曲线右支相交于M,N
所以所以
令
由
当时,三角形BMN面积的最小值为18
知识点
已知双曲线中,
是左、右顶点,
是右焦点,
是虚轴的上端点,若在线段
上(不含端点)存在不同的两点
,使得△
构成以
为斜边的直角三角形,则双曲线离心率
的取值范围是
正确答案
解析
以为直径的圆与线段
有两个不同的交点,所以圆的半径大于点
到
的距离,且小于
的长.故
,解得
.
知识点
过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F,作圆
的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若E为PF的中点,则双曲线的离心率为 .
正确答案
解析
设双曲线的右焦点为,连接PM,因为E为PF的中点,所以OE为三角形FPM的中位线,所以PM=2OE=
,所以PF=3
,EF=
,又FE为切线,所以有
,所以
。
知识点
过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F,作圆
的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若E为PF的中点,则双曲线的离心率为 .
正确答案
解析
设双曲线的右焦点为,连接PM,因为E为PF的中点,所以OE为三角形FPM的中位线,所以PM=2OE=
,所以PF=3
,EF=
,又FE为切线,所以有
,所以
。
知识点
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