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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

若双曲线的左、右顶点分别为,点是第一象限内双曲线上的点,若直线的倾斜角分别为,且,那么的值是(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

∵双曲线的方程为,∴双曲线的左顶点为,右顶点为,设,得直线的斜率,直线的斜率,∴①,∵是双曲线上的点,∴,得,代人①式得,∵直线的倾斜角分别为,所以,∴,∵是第一象限内双曲线上的点,易知均为锐角,∴,解得,故选D。

知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

在平面直角坐标系xOy中,点F是双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,过F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为A,延长FA与另一条渐近线交于点B,若=2,则双曲线的离心率为  。

正确答案

2

解析

如图因为=2,所以A为线段FB的中点,∴∠2=∠4,又∠1=∠3,

∠2+∠3=90°,所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3。

故∠2+∠3=90°=3∠2⇒∠2=30°⇒∠1=60°⇒

,e2=4⇒e=2。

知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 10 分

在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0 ≤ α < π)。以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ = 4sinθ。

(1)求直线 l 与曲线C的平面直角坐标方程;

(2)设直线 l 与曲线C交于不同的两点A、B,若,求α的值。

正确答案

见解析

解析

(1)直线普通方程为

曲线的极坐标方程为,则

 …………5分

(2)将代入曲线

 …………7分

 ……9分

…………10分

知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)过右焦点作斜率为的直线交曲线两点,且,又点关于原点的对称点为点,试问四点是否共圆?若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)由题意可得圆的方程为

∵直线与圆相切,∴,即,        --------2分

,及,得,所以椭圆方程为。------4分

(2)因直线过点,且斜率为,故有

联立方程组,消去,得-----------6分

,可得,于是.

,得-----------8分

而点与点关于原点对称,于是,可得点

若线段的中垂线分别为,则有

联立方程组,解得的交点为-----------10分

因此,可算得

所以四点共圆,且圆心坐标为半径为-----12分

知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

是双曲线左准线上一点,分别是其左、右焦点,与双曲线右支交于点Q,且,则的值为(   )

A

B4

C

D

正确答案

D

解析

设Q的横坐标为x,因为得x=,由双曲线的第二定义得.

知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

由曲线围成的图形的面积为_______。

正确答案

解析

解析围成的图形如图,面积为

知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知双曲线的右顶点为A,右焦点为F,右准线与轴交于点B,且与一条渐近线交于点C,点O为坐标原点,又过点F的直线与双曲线右交于点M、N,点P为点M关于轴的对称点。

(1)求双曲线的方程;

(2)证明:B、P、N三点共线;

(3)求面积的最小值。

正确答案

见解析

解析

解析:(1)易得双曲线方程为

(2)由(1)可知得点设直线L的方程为:

由:   可得

所以       所以

因为

=

=

=0

所以向量共线。所以B, P,N三点共线

(3)因为 直线L与双曲线右支相交于M,N

所以所以

时,三角形BMN面积的最小值为18

知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知双曲线中, 是左、右顶点,是右焦点,是虚轴的上端点,若在线段上(不含端点)存在不同的两点,使得△构成以为斜边的直角三角形,则双曲线离心率的取值范围是

正确答案

解析

为直径的圆与线段有两个不同的交点,所以圆的半径大于点的距离,且小于的长.故,解得.

知识点

双曲线的定义及标准方程
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题型:填空题
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填空题 · 4 分

过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F,作圆的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若E为PF的中点,则双曲线的离心率为          .

正确答案

解析

设双曲线的右焦点为,连接PM,因为E为PF的中点,所以OE为三角形FPM的中位线,所以PM=2OE=,所以PF=3,EF=,又FE为切线,所以有,所以

知识点

双曲线的定义及标准方程
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F,作圆的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若E为PF的中点,则双曲线的离心率为          .

正确答案

解析

设双曲线的右焦点为,连接PM,因为E为PF的中点,所以OE为三角形FPM的中位线,所以PM=2OE=,所以PF=3,EF=,又FE为切线,所以有,所以

知识点

双曲线的定义及标准方程
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