双曲线及其性质
共531题

双曲线及其性质
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题型：填空题

填空题 · 4 分

已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 .

正确答案

解析

设，，则，又为等差数列，所以，整理得，代入整理得，，解得，所以双曲线的离心率为。

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 4 分

已知双曲线的渐近线方程为,则它的离心率为 .

正确答案

解析

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

设函数，其中向量.

（1）求函数的最小正周期和在上的单调递增区间；

（2）中，角所对的边为，且，求的取值范围。

正确答案

（1）（2）

解析

（1） ………………2分

……………………………4分

在[0，π]上单调递增区间为， ……………6分

（2）， ………………8分

………………………………………………9分

………………………………10分

当C=时， ………………………………11分

………………………………………12分

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，，则该双曲线的离心率为

正确答案

解析

双曲线的渐近线为：y＝，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，－），P（c，），因为

所以，（c，）＝（，），所以，

＝1，＝，解得：，又由，得：

，解得：，所以，e＝，选C。

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围

正确答案

解析

因为双曲线的渐近线为，要使直线与双曲线无交点，则直线，应在两渐近线之间，所以有，即，所以，，即，，所以，选B.

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且PF2⊥x轴，则F2到直线PF1的距离为　　。

正确答案

解析

解：：∵F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，

∴ F1（﹣3，0），F2（3，0）；

又点P在双曲线上，且PF2⊥x轴，

∴ 点P的横坐标为3，纵坐标y0=。

∴ PF2=。

在直角三角形PF1F2中，PF2=。

F1F2=6.∴ PF1=

∴ F2到直线PF1的距离d===。

故答案为：。

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点。

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与的两个交点，A和B满足（其中O为原点），求的范围。

正确答案

见解析

解析

解：（1）设双曲线的方程为则

再由得，故的方程为

（2）将代入得，得

由直线与恒有两个不同的交点，得：

，即①

将代入，得

，由直线与恒有两个不同的交点，得：

即且②

设，则

由得，而

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 4 分

过双曲线的左焦点且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A，B两点，若在双曲线虚轴所在直线上存在一点C，使，则双曲线离心率的取值范围是。

正确答案

解析

设双曲线的方程为，由，得.

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，

∵|AB|2+=，

∴∠ABF2=90°，

又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a，

∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，

∴|AF1|=3。

∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，

∴a=1。

在Rt△BF1F2中，=+=62+42=52，又=4c2，

∴4c2=52，

∴c=。

∴双曲线的离心率e==。

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围

正确答案

解析

因为双曲线的渐近线为，要使直线与双曲线无交点，则直线，应在两渐近线之间，所以有，即，所以，，即，，所以，选B.

知识点

双曲线的定义及标准方程

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