双曲线及其性质
共531题

双曲线及其性质
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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知双曲线与抛物线有相同的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（）

正确答案

解析

由已知得双曲线的焦点坐标为（0，2），（0，-2），与抛物线有相同的焦点，所以a=8或-8.不妨令a=8，即，

∵|AF|=4，由抛物线的定义得，
∴A到准线的距离为4，即A点的纵坐标为2，又点A在抛物线上，∴从而点A的坐标A（4，2）；坐标原点关于准线的对称点的坐标为B（0，-4）
则|PA|+|PO|的最小值为：|AB|=,故选A。

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

若双曲线的渐近线方程为，则双曲线离心率为

正确答案

解析

由得，所以，

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆的右焦点为，离心率，是椭圆上的动点。

（1）求椭圆标准方程；

（2）若直线与的斜率乘积，动点满足, （其中实数为常数）。问是否存在两个定点,，使得为定值？若存在，求,的坐标，若不存在，说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）有题设可知：∴ ,

又，∴，

∴椭圆标准方程为.

（2）设,,,

则由得

即

因为点在椭圆上，

所以,,

故.

设分别为直线的斜率，

由题设条件知,因此，

所以,即,

所以P点是椭圆上的点，

设该椭圆的左、右焦点为,，

则由椭圆的定义为定值。

又,因此两焦点的坐标为，

所以存在两个定点，,使得.

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

过椭圆上一点H作圆的两条切线,点为切点.过的直线与轴, 轴分别交于点两点, 则的面积的最小值为

正确答案

解析

因为点H在椭圆上，所以设H（3cosθ，2sinθ），因为过椭圆上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆的两条切线，点A，B为切点，所以直线AB的方程为，因为过的直线与轴, 轴分别交于点两点，所以，所以的面积S=，因为，所以时，的面积的最小为。

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知双曲线的两条渐近线的夹角为，且焦点到一条渐近线的距离大于，则

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为

正确答案

解析

设A（x1，y1），C（x2，y2），

由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线的交点，

∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，

∴B（-x1，-y1），k1= ，k2= ，

∴k1k2= =，∵点A，C都在双曲线上，

∴，，两式相减，得：=0，

∴k1k2=＞0，∴+ln|k1|+ln|k2|=+ln（k1k2），

对于函数y=+lnx，（x＞0），由y′=-+=0，得x=0（舍）或x=2，

x＞2时，y′=-+＞0，

0＜x＜2时，y′=-+＜0，∴当x=2时，函数y=+lnx（x＞0）取得最小值，

∴当+ln|k1|+ln|k2|最小时，k1k2==2，∴e==，故选：B。

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n=____，展开式中的常数项是____。

正确答案

答案：4,24

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知是双曲线的两个焦点，以为直径的圆与双曲线一个交点是P，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是

正确答案

解析

略

知识点

双曲线的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

设、分别为具有公共焦点、的椭圆和双曲线的离心率，是两曲线的一个公共点，且满足,则的值为

正确答案

解析

设，不妨设.由知，∠,则,∴，，∴，∴.

知识点

双曲线的定义及标准方程

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