数列的概念与简单表示法_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 4 分

5．南宋孝宗淳熙二年（1175），朱（朱熹）陆（陆九渊）“鹅湖之会”开启了“朱陆异同”的争辩，其共同主旨包括：（）

①道问学

②植纲常

③扶名教

④宗孔孟

A①③④

B②③④

C①②③

D①②④

正确答案

B

解析

此题是比较型选择题。根据所学知识，我们知道朱熹陆象山都是南宋同时代的理学家，他们哲学核心都是“理”，在朱为“性”，在陆为“心”，派生万物，或统一万物，因而都是精神第一性，物质第二性，颠倒了哲学的根本问题。他们夸大了“精神”的绝对作用，实质上成了“虚构的神学”，把人们引向僧侣主义。他们在政治上都是同植纲常，同扶名教，同宗孔孟，同为中国封建专制政权服务。所以正确答案选择B项。道问学是朱熹的观点，属于二者的分歧，故应排除。

考查方向

陆王心学与程朱理学的比较

解题思路

此题是比较型选择题。根据所学知识，我们知道朱熹陆象山都是南宋同时代的理学家，他们哲学核心都是“理”，在朱为“性”，在陆为“心”，派生万物，或统一万物，因而都是精神第一性，物质第二性，颠倒了哲学的根本问题。他们夸大了“精神”的绝对作用，实质上成了“虚构的神学”，把人们引向僧侣主义。他们在政治上都是同植纲常，同扶名教，同宗孔孟，同为中国封建专制政权服务。所以正确答案选择B项。二者的区别主要表现在一下方面：在认识论上——朱熹主张“性即是理”，陆象山主张“心即是理”。在方法论上——朱熹主张“道问学”，从外而内，陆象山主张“尊德性”，从内而外。在宇宙观上——朱熹坚持“无极而太极”；陆象山则认为“易有太极”，“太极”之上不能加“无极”二字。在历史观上——朱熹主张“陶铸历史，会归一理的纯粹”；陆象山则认为：“先王之泽竭，此心放失陷溺而然也。”

易错点

此题出错点在于概念混淆而出错。

知识点

由其它方法求数列的通项公式

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知数列满足，且

成等差数列.

22. 求q的值和的通项公式；

23. 设，求数列的前n项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(I) ;

解析

(I) 由已知，有，即，

所以，又因为，故，由，得，

当时，，

所以的通项公式为

考查方向

1.等差中项定义；

解题思路

(I)由得先求出，分为奇数与偶数讨论即可；

易错点

不会讨论来解答。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(II) .

解析

（II）解：由（I）得.设的前n项和为，则

，

上述两式相减，得

，

整理得，.

所以，数列的前n项和为，.

考查方向

1.等比数列及前项和公式.2.错位相减法.

解题思路

(II)求出数列的通项公式，用错位相减法求和即可.

易错点

没有掌握求和方法。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.

17.求数列{an}的通项公式；

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

利用Sn和an的关系求数列的通项；数列与不等式；

解题思路

第1问，根据Sn和an的关系判断出数列为等差数列，根据等比数列通项公式求通项，第2问结合第1问得到的结论，得到Bn的通项，进而求出bn的前n项和。

易错点

求数列通项公式错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

利用Sn和an的关系求数列的通项；数列与不等式；

解题思路

第1问，根据Sn和an的关系判断出数列为等差数列，根据等比数列通项公式求通项，第2问结合第1问得到的结论，得到Bn的通项，进而求出bn的前n项和。

易错点

求数列通项公式错误

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设数列的前项和，且成等差数列.

16.求数列的通项公式；

17.记数列的前n项和，求得成立的n的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由已知，有，

即.

从而.

又因为成等差数列，即.

所以，解得.

所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列.

故.

考查方向

本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力.

解题思路

利用及题设可得与的关系为，所以这是一个公比为2的等比数列.再利用成等差数列，可求得，从而得通项公式.

易错点

不会根据Sn＝2an－a3求出an＝2an－1(n≥2)；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

10.

解析

由(1)得，

所以，

由，得，即

因为

所以，

于是，使成立的n的最小值为10.

考查方向

本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力.

解题思路

由（1）得，这仍然是一个等比数列，利用等比数列的前n项和公式，可求得，代入，即可得使成立的n的最小值.

易错点

求前n项和时对于项数出错。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.在数列{an}中，a1=3, an=，则（）

A数列{an}单调递减

B数列{an}单调递增

C数列{an}先递减后递增

D数列{an}先递增后递减

正确答案

A

解析

由，知，　　①，则有　　②．由②-①得，即．∵，∴与同号．由，易知，，即，由此可知数列单调递减，故B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

考查方向

本题主要考查了数列的单调性，考查考生分析和解决问题的能力。

解题思路

先对an=两边平方，，从而有，两式相减得，因为，所以与同号．由，易知，，即。

故B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

易错点

转化条件an=易出错。

知识点

由其它方法求数列的通项公式

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知正项数列的前项和为，且 .

22.求的值及数列的通项公式；

23.是否存在非零整数，使不等式

对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

解：由.

当时，，解得或（舍去）． ……2分

当时，

由，……………4分

∵，∴，则，……………5分

∴是首项为2，公差为2的等差数列，故．……………6分

另法：易得，猜想，再用数学归纳法证明(略)．

考查方向

数列通项的求法；数列与不等式、三角函数综合应用.

解题思路

利用数列前项和与通项的关系求解；注意第1项的讨论；

另法：易得，猜想，再用数学归纳法证明(略)．

易错点

利用数列前项和与通项的关系求通项的第1项的讨论；数列与不等式关系的综合讨论

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

存在满足条件,理由：见解析.

解析

由，得，……………7分

设，则不等式等价于.……………8分

，……10分

∵，∴，数列单调递增. ……………… 11分

假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则

① 当为奇数时，得； ……11分……………12分

② 当为偶数时，得，即. ……13分

综上，，由是非零整数，知存在满足条件．…… 14分

考查方向

数列通项的求法；数列与不等式、三角函数综合应用.

解题思路

先进行化简转化=cos(n+1)=，然后再分析法，将不等的另一侧构造一个新数列，证明{}是单调数列，再结合n进行讨论，利用函数的恒成立问题求解

易错点

利用数列前项和与通项的关系求通项的第1项的讨论；数列与不等式关系的综合讨论

1

题型：简答题

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简答题 · 20 分

已知数列满足：；

24.若，求的值；

25.若，记，数列的前n项和为，求证：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

（1）

当时，解得

当时，无解所以，

考查方向

本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

解题思路

由数列满足的解析式，代入可得．

易错点

主要易错于递推关系找不出，

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

(2)方法1： ①

②

①/②得，因为

方法2：因为，

又因为，所以

所以，所以为单调递减数列

所以

，

所以：

考查方向

本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

解题思路

这里可以从两个方面进行分析

①直接找出的递推关系，进而得出通项公式，根据前n项和得出结论

②根据递推关系得出，且是递减数列，使用放缩法得出答案

易错点

主要易错于递推关系找不出，

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知是等差数列，，，数列满足，，且是等比数列.

22.求数列和的通项公式；、

23.设，求数列的前项和，并判断是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），

解析

（1）因为，所以，得

所以

，，且，得

所以，进而

考查方向

本题主要考查等差数列、等比数列的基本性质，求和公式等知识，意在考查考生分类讨论的思想和运算求解能力。

解题思路

1.第（1）问根据等差数列、等比数列的基本量求出通项公式；2.根据第（1）问求出，然后求出其前n项和，通过判断其单调性得到答案。

易错点

1.不会将分段；2。不知道用什么方法求数列的前项和

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），

解析

（2），

，

所以，

，

(或，

因为，，数列是递增数列，且，

所以，不存在正整数，使得.

考查方向

本题主要考查等差数列、等比数列的基本性质，求和公式等知识，意在考查考生分类讨论的思想和运算求解能力。

解题思路

1.第（1）问根据等差数列、等比数列的基本量求出通项公式；2.根据第（1）问求出，然后求出其前n项和，通过判断其单调性得到答案。

易错点

1.不会将分段；2。不知道用什么方法求数列的前项和

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知为单调递增的等差数列，,设数列满足

17.求数列的通项；

18.求数列的前项和。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

(1) 设的公差为，则

为单调递增的等差数列且

由得解得

考查方向

本题主要考查等差数列基本量的求解和已知求数列的通项公式和等不数列求和等知识，意在考查考生的转化与化归能力和运算求解能力。

解题思路

利用等差数列的性质求出数列的通项；

易错点

利用等差数列的性质求通项公式和等比数列的性质混淆；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（2）

由①

得②

① -②得，

又不符合上式

当时,

符合上式 ,

考查方向

本题主要考查等差数列基本量的求解和已知求数列的通项公式和等不数列求和等知识，意在考查考生的转化与化归能力和运算求解能力。

解题思路

根据公式构造等式求出的通项后利用求和公式求和即可。

易错点

先构造等式做差后求出，进而利用等比数列的求和公式求出其和时忘记第一项导致出错。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6.已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（　　）.

Aan=

Ban=n-1

Can=n（n-1）

Dan=2n-2

正确答案

B

解析

当x∈(-∞,0]时,由g(x)=f(x)-x=2x-1-x=0,得2x=x+1.令y=2x,y=x+1.在同一个坐标系内作出两函数在区间(-∞,0]上的图象,如图,

由图象易知交点为(0,1),故得到函数的零点为x=0.

当x∈(0,1]时,x-1∈(-1,0],f(x)=f(x-1)+1=2x-1-1+1=2x-1,由g(x)=f(x)-x=2x-1-x=0,得2x-1=x.令y=2x-1,y=x.在同一个坐标系内作出两函数在区间(0,1]上的图象,由图象易知交点为(1,1),故得到函数的零点为x=1.

当x∈(1,2]时,x-1∈(0,1],f(x)=f(x-1)+1=2x-1-1+1=2x-2+1,由g(x)=f(x)-x=2x-2+1-x=0,得2x-2=x-1.令y=2x-2,y=x-1.在同一个坐标系内作出两函数在区间(1,2]上的图象,由图象易知交点为(2,1),故得到函数的零点为x=2.

依此类推,当x∈(2,3],x∈(3,4],…,x∈(n,n+1]时,构造的两函数图象的交点依次为(3,1),(4,1),…,(n+1,1),得对应的零点分别为x=3,x=4,…,x=n+1.

故所有的零点从小到大依次排列为0,1,2,…,n+1.其对应的数列的通项公式为an=n-1.

知识点

函数零点的判断和求解由其它方法求数列的通项公式

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