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1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知数列的前项和为,,,则()

A

B

C

D

正确答案

C

解析

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数处的切线方程为.

(1)求函数的解析式;

(2)若关于的方程恰有两个不同的实根,求实数的值;

(3)数列满足

的整数部分.

正确答案

见解析。

解析

(1)由f(x)=a x2+bx+1,所以f(x)=2ax+b,

因为函数f(x)=a x2+bx+1在x=3处的切线方程为y=5x﹣8,所以切点为(3,7)。

,解得:a=1,b=﹣1。

所以f(x)=x2﹣x+1;

(2)由(1)知f(x)=x2﹣x+1,

关于x的方程f(x)=kex恰有两个不同的实根,

即x2﹣x+1=k•ex有两个不同的实根,也就是k=e﹣x(x2﹣x+1)有两个不同的实根。

令g(x)=e﹣x(x2﹣x+1),

则g(x)=(2x﹣1)e﹣x﹣(x2﹣x+1)e﹣x

=﹣(x2﹣3x+2)e﹣x=﹣(x﹣1)(x﹣2)e﹣x

由g(x)=0,得x1=1,x2=2。

所以当x∈(﹣∞,1)时,g(x)<0,g(x)在(﹣∞,1)上为减函数;

当x∈(1,2)时,g(x)>0,g(x)在(1,2)上为增函数;

当x∈(2,+∞)时,g(x)<0,g(x)在(2,+∞)上为减函数;

所以,当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=,当x=2时函数取得极大值g(2)=

函数y=k与y=g(x)的图象的大致形状如下,

由图象可知,当k=时,关于x的方程f(x)=kex恰有两个不同的实根;

(3)由2a1=f(2)=22﹣2+1=3,所以>1,=

>0,

所以an+1>an>1。

,所以an+1﹣1=an(an﹣1),

,即

所以

=

===2<2。

又S=

的整数部分等于1。

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知数列的前项和为,且 N.

(1) 求数列的通项公式;

(2)若是三个互不相等的正整数,且成等差数列,试判断

是否成等比数列?并说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)

∴ 当时,有  解得 .

   由,               ①

,  ②

② - ①得: .             ③

以下提供两种方法:

法1:由③式得:

∴数列是以4为首项,2为公比的等比数列.

,即.

时,

也满足上式,

.

法2:由③式得:

.                       ④

时,,             ⑤

⑤-④得:.

,得

.

∴数列是以为首项,2为公比的等比数列.    ∴.

(2):∵成等差数列,

.

假设成等比数列,

化简得:.        (*)

,这与(*)式矛盾,故假设不成立。

不是等比数列.

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

对于实数,将满足“为整数”的实数称为实数的小数部分,用记号表示,例如对于实数,无穷数列满足如下条件:

  其中

(1)若,求数列的通项公式;

(2)当时,对任意的,都有,求符合要求的实数构成的集合

(3)若是有理数,设 (是整数,是正整数,,互质),对于大于的任意正整数,是否都有成立,证明你的结论。

正确答案

见解析

解析

(1) ,…….2分

,则

所以………………………3分

(2) , 所以 ,从而

①当,即时,

所以

解得: (,舍去)         ……………….4分

②当 ,即 时,

所以

解得 ( ,舍去)  ………………5分

①     当 时,即 时,

解得 ( ,舍去)      ………………6分

综上,集合.      ………………7分

(3)结论成立.                                    ……………………8分

是有理数,可知对一切正整数为0或正有理数,

可设是非负整数,是正整数,且互质)

,可得;…………………9分

,设是非负整数)

,而由

,故,可得 ………11分

均不为0,则这正整数互不相同且都小于

但小于的正整数共有个,矛盾.

中至少有一个为0,即存在,使得.

从而数列以及它之后的项均为0,

所以对于大于的自然数,都有……………………13分

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知数列中,,等比数列的公比满足,且

(     )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知数列的前项和为,且点在函数的图像上。

(1)求数列的通项公式;

(2)设数列满足:,求数列的前项和公式;

(3)在第(2)问的条件下,若对于任意的不等式恒成立,求实数的取值范围。

正确答案

(1)

(2)

(3)

解析

(1)由题意可知,.

时,,

时,也满足上式,

所以.…………………………………………………………3分

(2)由(1)可知,即.

时,,………①

时,,所以,………②

时,,………③

时,,所以,………④

……

时(为偶数),,所以………

以上个式子相加,得

.

,所以,当为偶数时,.

同理,当为奇数时,,

所以,当为奇数时,.……………………………………………6分

因此,当为偶数时,数列的前项和

;

为奇数时,数列的前项和

.

故数列的前项和.…………………………8分

(3)由(2)可知

①当为偶数时,,

所以的增大而减小,从而,当为偶数时,的最大值是.

②当为奇数时,,

所以的增大而增大,且.

综上,的最大值是1.

因此,若对于任意的,不等式恒成立,只需,

故实数的取值范围是.………………………………………………13分

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

已知为等差数列,若,则的值为        。

正确答案

-1/2

解析

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

若对于正整数,表示的最大奇数因数,例如.设

(1)求,的值;

(2)求的值;

(3)求数列的通项公式。

正确答案

见解析

解析

(1),      

(2)

(3)由(1)(2)不难发现对,    有

所以当时,

 

于是

所以                              

   

,满足上式,

所以对

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

对于数列,定义“变换”:将数列变换成数

,其中,且,这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”,得到数列,…,依此类推,当得到的数列各项均为时变换结束。

(1)试问经过不断的“变换”能否结束?若能,请依次写出经过“变换”得到的各数列;若不能,说明理由;

(2)求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件;

(3)证明:一定能经过有限次“变换”后结束。

正确答案

见解析

解析

(1)解:数列不能结束,各数列依次为

;…,从而以下重复出现,不会出现所有项均为的情形。

数列能结束,各数列依次为

(2)解:经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是

,则经过一次“变换”就得到数列,从而结束。

当数列经过有限次“变换”后能够结束时,先证命题“若数列为常数列,则为常数列”。

时,数列

由数列为常数列得,解得,从而数列

为常数列。

其它情形同理,得证。

在数列经过有限次“变换”后结束时,得到数列(常数列),由以上命题,它变换之前的数列也为常数列,可知数列也为常数列。

所以,数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是

(3)证明:先证明引理:“数列的最大项一定不大于数列的最大项,其中”。

证明:记数列中最大项为,则

,其中

因为,  所以

,证毕。

现将数列分为两类。

第一类是没有为的项,或者为的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻),此时由引理可知,。   

第二类是含有为的项,且与最大项相邻,此时

下面证明第二类数列经过有限次“变换”,一定可以得到第一类数列。

不妨令数列的第一项为,第二项最大(),(其它情形同理)

① 当数列中只有一项为时,

(),则,此数列各项均不为

或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;

,则

此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;

(),则,此数列各项均不为,为第一

类数列;

,则

此数列各项均不为,为第一类数列。

② 当数列中有两项为时,若(),则,此数列

各项均不为,为第一类数列;

(),则,此数列

各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列。

③ 当数列中有三项为时,只能是,则

,此数列各项均不为,为第一类数列。

总之,第二类数列至多经过次“变换”,就会得到第一类数列,即至多连续经历次“变换”,数列的最大项又开始减少。

又因为各数列的最大项是非负整数,

故经过有限次“变换”后,数列的最大项一定会为,此时数列的各项均为,从而结束。

知识点

由数列的前几项求通项
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

一个三角形数表按如下方式构成(如图:其中项数):第一行是以4为首项,4为公差的等差数列,从第二行起,每一个数是其肩上两个数的和,例如:为数表中第行的第个数。

(1)求第2行和第3行的通项公式

(2)证明:数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列,并求关于)的表达式;

(3)若,试求一个等比数列,使得,且对于任意的,均存在实数 ,当时,都有

正确答案

见解析

解析

(1)

。--------------------------------------------------------------------------------------------------------(3分)

(2)由已知,第一行是等差数列,假设第行是以为公差的等差数列,

则由

(常数)知第行的数也依次成等差数列,且其公差为.综上可得,数表中除最后2行以外每一行都成等差数列;------------(7分)

由于,所以,所以

,由

,                                            (9分)

于是 ,

,又因为,所以,数列是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以,,所以)。                                                       (12分)

(3) ,

,-----------------(14分)

。 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------(15分)

,则当时,都有

适合题设的一个等比数列为

知识点

由数列的前几项求通项
下一知识点 : 等差数列
百度题库 > 高考 > 理科数学 > 数列的概念与简单表示法

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