数列的概念与简单表示法_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知前项和为的等差数列的公差不为零，且，又，，成等比数列。

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在正整数对，使得？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）因为，，成等比数列，所以。

设数列的公差为，则. 2分

将代入上式化简整理得. 又因为，所以.

于是，即数列的通项公式为.

3分

（2）假设存在正整数对，使得，则由（Ⅰ）知.

当时，不成立，于是.

3分

因为为正整数，所以，即，且5被整除，

故当且仅当，或时，为正整数. 2分

即当时，；时，；时，.

故存在正整数对，，，使得成立. 2分

知识点

由数列的前几项求通项

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知数列、满足，，数列的前项和为.

（1）求证：数列为等差数列；

（2）设，求证：；

（3）求证：对任意的都有成立。

正确答案

见解析

解析

（1）证明：由得代入得

整理得，

∵否则，与矛盾

从而得, -

∵ ∴数列是首项为1，公差为1的等差数列

（2）∵，则。

∴＝

＝-

证法1：∵

＝＝

∴。

证法2：∵ ∴

∴

∴。

（3）用数学归纳法证明：

①当时，不等式成立；

②假设当（，）时，不等式成立，即

，那么当时

＝

∴当时，不等式成立

由①②知对任意的,不等式成立。

知识点

由数列的前几项求通项

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知数列

（1）设证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列；

（3）设对一切正整数n均成立，并说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1），

为等差数列，又，。

。 …………………（4分）

（2）设，则

3。

。

。…………………（8分）

（3）由已知得，从而求得猜测C1最大，下证：

，

∴ 存在，使得对一切正整数均成立。 …………………（12分）

知识点

由数列的前几项求通项

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

如右图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有

A11种

B20种

C21种

D12种

正确答案

C

解析

若前一个开关只接通一个，则后一个有，此时有种，若前一个开关接通两一个，则后一个有，所以总共有，选C.

知识点

由数列的前几项求通项

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知等比数列的前n项和为，且满足=+k，

（1）求k的值及数列的通项公式；

（2）若数列满足=，求数列的前n项和.

正确答案

见解析。

解析

（1）当n≥2时由…………2分

=3+k，所以k=，…………………………………………4分

（2）由，可得,……………６分

………………………………７分

……………………………9分

……………………10分

…………………………………………12分

知识点

由数列的前几项求通项

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知数列的首项，前项和为，且，，设，.

（1）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

（2）设，证明：；

（3）对于（1）中数列，若数列满足（），在每两个与之间都插入（）个2，使得数列变成了一个新的数列，试问：是否存在正整数,使得数列的前项的和?如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）由题意得

又，

数列是以为首项，以2为公比的等比数列。

（2）由（1）知（）]

由及得

以上式子相加

，也适合

，

则

（3）由（1）得，即，

数列中，（含项）前的所有项的和是：

当时，其和是

又因为2011-1077=934=4672，是2的倍数

所以当时，，

所以存在=988使得

知识点

由数列的前几项求通项

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

将三个字母填写到3×3方格中，要求每行每列都不能出现重复字母，不同的填写方法有________种.（用数值作答）

正确答案

12

解析

先填第一行，则第一行有种，第二行第一列有2种，其余2列有唯一1种，第三列唯一确定1种，共有6×2=12（种）

知识点

由数列的前几项求通项

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项。

（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）设数列{cn}对任意n∈N+均有成立，求cl+c2+c3+……+c2014的值。

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知得=, , ,

由于为等比数列，所以。

=, 。

。

又==3，= =9 ,

数列{}的公比为3，

=3=。

（2）由++…+= , ①

当时，==3， =3。

当时，++…+= ， ②

由①－②得 == ，

=2=2,

=

=3+23+2+…+2

=1+2+23+2+…+2=1+2=

知识点

由数列的前几项求通项

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第行第3个数字是。

正确答案

解析

杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，即为莱布尼兹三角形。

∵杨晖三角形中第n（n≥3）行第3个数字是n，

则“莱布尼兹调和三角形”第n（n≥3）行第3个数字是＝。

知识点

由数列的前几项求通项

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知数列{an}的前n项为和Sn，点（n，）在直线y=上，数列{bn}满足bn+2﹣2bn+1+bn=0（n∈N*），且b1=5，{bn}前10项和为185。

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（2）设cn=，数列的前n和为Tn，求证：Tn≥。

正确答案

见解析。

解析

（1）∵点（n，）在直线y=上，

∴，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1==n+5，

当n=1时，a1=S1=6，n+5=6，

∴。

又bn+2﹣2bn+1+bn=0，

∴bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn，n∈N*，

∴{bn}为等差数列，

∵b1=5，∴，解得d=3，

∴bn=b1+3（n﹣1）=3n+2，

∴。

（2）证明：cn=

=

=，

∴Tn=

==，

∵Tn+1﹣Tn==，

∴Tn单调递增，故（Tn）min=，

∴Tn≥。

知识点

由数列的前几项求通项

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