热门试卷

（1）数列不是“Ω”数列；数列是“Ω”数列。               ……………………2分

（2）不存在一个等差数列是“Ω”数列。

证明：假设存在等差数列是“Ω”数列，

则由  得，与矛盾，

所以假设不成立，即不存在等差数列为“Ω”数列。            ……………………7分

（3）将数列按以下方法重新排列：

设为重新排列后所得数列的前n项和（且），

任取大于0的一项作为第一项，则满足，

假设当时，

若，则任取大于0的一项作为第n项，可以保证，

若，则剩下的项必有0或与异号的一项，否则总和不是1，

所以取0或与异号的一项作为第n项，可以保证。

如果按上述排列后存在成立，那么命题得证；

否则，，…，这m个整数只能取值区间内的非0整数，

因为区间内的非0整数至多m-1个，所以必存在，

那么从第项到第项之和为，命题得证。

综上所述，数列中必存在若干项之和为0。                 ……………………13分

（1）由①，得.

由②，当，，时. ,,中至少有一个是数列，，，中的项，但，，故，解得.

经检验，当时，符合题意.                             ………………3分

（2）假设是数列中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且.

由①，.                            ………………4分

对于数，由②可知：；对于数，由②可知：.                                                     ………………6分

所以 ，这与①矛盾.

所以 不可能是数列中的项.                          ………………7分

（3）的最大值为，证明如下：                              ………………8分

(1)令，则符合①、②.       ………………11分

(2)设符合①、②，则：

（ⅰ）中至多有三项，其绝对值大于1.

假设中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设，，，是中绝对值最大的四项，其中.

则对，，有，，故，均不是数列中的项，即是数列中的项.

同理：也是数列中的项.

但，.

所以 .

所以 ，这与①矛盾.

（ⅱ）中至多有三项，其绝对值大于0且小于1.

假设中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（ⅰ）得出矛盾.

（ⅲ）中至多有两项绝对值等于1.

（ⅳ）中至多有一项等于0.

综合（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）可知中至多有9项.

………………14分

由（1），（2）可得，的最大值为9.

解析：（1）， ①  当时，.   ②

由 ① - ②，得.     .

又 ，，解得 .

 数列是首项为1，公比为的等比数列。

（为正整数）.            ……………………6分

（2）由（1）知

由题意可知，对于任意的正整数，恒有，

 数列单调递增， 当时，该数列中的最小项为，

 必有，即实数的最大值为1.                   ……………… 12分

（1）在中，令n=1，可得，即。

当时，∴， …

∴，即，∵，∴，即当时，，又，∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列。

于是，∴。   

（2）∵,∴,

∴=。

由，得，即，

单调递减，∵，∴的最大值为4。