数列的概念与简单表示法
共1089题

数列的概念与简单表示法
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知等差数列中，公差，其前项和为，且满足：，。

（1）求数列的通项公式；

（2）令，，求的最小值。

正确答案

（1）（2）36

解析

解析：（1）∵　数列是等差数列，

∴　，又，

∴　，或，

∵　公差，∴　，。

∴　，。

∴　，

（2）∵　，

∴　

当且仅当，即时，取得最小值36.

知识点

由数列的前几项求通项

题型：单选题

单选题 · 5 分

若数列满足规律：，则称数列为余弦数列，现将1,2,3,4,5排列成一个余弦数列的排法种数为

A12

B14

C16

D18

正确答案

解析

①将3,4,5排在中间和两侧，再用1,2插两缝共种；

②将2,4,5排列，则结果必为21435；

将2,5,4排列，则结果必为21534；

将4,5,2排列，则结果必为43512；

将5,4,2排列，则结果必为53412. 故选C.

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 16 分

设是公差为的等差数列，是公比为()的等比数列，记。

（1）求证：数列为等比数列；

（2）已知数列的前4项分别为4，10，19，34。

① 求数列和的通项公式；

② 是否存在元素均为正整数的集合，，…，(，)，使得数列，，…，为等差数列？证明你的结论。

正确答案

见解析

解析

（1）证明：依题意，

，

从而，又，

所以是首项为，公比为的等比数列，

（2）① 法1：由（1）得，等比数列的前3项为，，，

则，

解得，从而，

且

解得，，

所以，，

法2：依题意，得

消去，得

消去，得，

从而可解得，，，，

所以，，

② 假设存在满足题意的集合，不妨设，，，，且，，

，成等差数列，

则，

因为，所以， ①

若，则，

结合①得，，

化简得，， ②

因为，，不难知，这与②矛盾，

所以只能，

同理，，

所以，，为数列的连续三项，从而，

即，

故，只能，这与矛盾，

所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合，

知识点

由数列的前几项求通项

题型：单选题

单选题 · 5 分

公差不为0的等差数列中, ,数列是等比数列，且,则（）

C16

D36

正确答案

解析

,即,,由知, ..

知识点

由数列的前几项求通项

题型：单选题

单选题 · 5 分

数列{an}满足a1=2，an=，其前n项积为Tn，则T2014=（　　）

B﹣

D-6

正确答案

解析

∵an=，

∴an+1=，

∵a1=2，∴a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…，

∴数列{an}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，

∵2014=4×503+2，

∴T2014=﹣6。

知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知等差数列的首项为4，公差为2，前项和为。

若()，则的值为。

正确答案

解析

略

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 12 分

设{}为等比数列，已知

（1）求数列的首项和公比；

（2）求数列的通项公式。

正确答案

见解析

解析

（1）设等比数列的公比为，则

∵

（2）解法一：由（I）知故

因此

解法二：设

由（1）

知识点

由数列的前几项求通项

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足，则公比q=

正确答案

解析

由题可知，则，得，因此，故选D.

知识点

由数列的前几项求通项

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知等差数列的前次和为，且，则过点和（）的直线一个方向向量的坐标可以是（）

A（）

B（）

C（）

D（）

正确答案

解析

即 ∴ ∴ ∴;

∴，，，方向向量，故选（B）。

知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数（为常数，且），且数列是首项为4，

公差为2的等差数列.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，当时，求数列的前项和；

（3）若，问是否存在实数，使得中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）证：由题意，即， ……1分

∴∴. ……2分

∵常数且，∴为非零常数，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列. ……3分

（2）解：由（1）知，，

当时，. …………4分

∴， ①

. ② ……5分

②－①，得

∴ . ……8分

（3）解：由（1）知，，要使对一切成立，

即对一切成立. ……9分

① 当时，，对一切恒成立；……10分

② 当时，，对一切恒成立，只需，……11分

∵单调递增，∴当时，. ……12分

∴，且， ∴. ……13分

综上所述，存在实数满足条件. ……14分

知识点

由数列的前几项求通项

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