数列的概念与简单表示法
共1089题

数列的概念与简单表示法
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题型：简答题

简答题 · 18 分

22．可以证明，对任意的，有成立．下面尝试推广该命题：

（1）设由三项组成的数列每项均非零，且对任意的有成立，求所有满足条件的数列；

（2）设数列每项均非零，且对任意的有成立，数列的前项和为．求证：，；

（3）是否存在满足（2）中条件的无穷数列，使得? 若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）；若不存在，说明理由．

正确答案

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 12 分

17.已知等差数列和正项等比数列，是和的等比中项.

（1）求的值；

（2）若，求数列的前项和.

正确答案

（1）设数列的公差为，的公比为

由题意可求得,=32

（2），由错位相减得=

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

填空题 · 4 分

12．已知数列满足：，，，若前项中恰好含有项为，则的值为（）．

正确答案

8或9

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：单选题

单选题 · 5 分

18．设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（）

A，

B，

C，

D，

正确答案

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．已知数列{an}满足：，，

（Ⅰ）求，并求数列{an}通项公式；

（Ⅱ）记数列{an}前2n项和为，当取最大值时，求的值。

正确答案

（I）∵ a1=20，a2=7，an+2﹣an=﹣2 ∴ a3=18，a4=5

由题意可得数列{an}奇数项、偶数项分布是以﹣2为公差的等差数列

当n为奇数时，=21﹣n

当n为偶数时，=9﹣n

∴ an=

（II）s2n=a1+a2+…+a2n =（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+…+a2n）

= =﹣2n2+29n

结合二次函数的性质可知，当n=7时最大

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

填空题 · 5 分

9．数列中，，当时，是积的个位数，则_________

正确答案

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

填空题 · 4 分

6．设为等差数列，若，则的值为（）．

正确答案

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．已知等比数列的首项，公比，数列前项和记为，前项积记为．

（1）证明：；

（2）求为何值时，取得最大值；

（3）证明：若数列中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为，则数列为等比数列。

正确答案

（1）

当时，等号成立

同理

当时，等号成立；

（2）

又

当时，

当时，．

当时，取得最大值

又因为

∴的最大值是和中的较大者

又因为

因此当时，最大

（3）

随增大而减小，奇数项均正，偶数项均负

①当是奇数时，设中的任意相邻三项按从小到大排列为

则

因此成等差数列

公差

②当是偶数时

设中的任意相邻三项按从小到大排列为

则

∴

因此成等差数列

公差

综上可知，中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列

且， ∵

∴数列为等比数列．

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知识点

由数列的前几项求通项

题型：填空题

填空题 · 4 分

3．在等比数列中，，，则此数列前项和为_________。

正确答案

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由数列的前几项求通项

题型：简答题

简答题 · 16 分

20．已知数列中，，且。

（1）记，求证：数列是等比数列，并求的通项公式；

（2）求的通项公式；

（3）当时，记，求的值。

正确答案

（1）由

得，

即

又，

所以，又。

所以是以1为首项，为公比的等比数列。

（2）由及得

＝

当时

（3）由

知

＝

因为，

所以

则，

又

所以

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知识点

由数列的前几项求通项

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