热门试卷

解析：（1）设数列的公差为，数列的公比为

 由题意得 …………………………………………………………2分

  解得

……………………………………………………5分

（2）由

知

两式相减：……………………………8分

………………………………………………………………10分

当时，，适合上式

即是等比数列……………………………………………………………………12分

（1），

，即，      

令，则，，

因此，数列是首项为，公差为的等差数列。

，                    

，                   

（2）（方法一）先证明当时，。

设，则，

当时，，

在上是增函数，则当时，，即，

因此，当时，，， 

当时，，， 

。

。

（方法二）数学归纳法证明

（1），，当时，成立；

，，

又，，

当时，成立，          

（2）设时命题成立，即，，

当时，，

要证， 即证，

化简，即证，                             

设，则，

当时，，

在上是增函数，则当时，，即。

因此，不等式成立，即当时成立， 

当时，，

要证， 即证，

化简，即证，

根据前面的证明，不等式成立，则时成立。

由数学归纳法可知，当时，不等式， 成立。

（1）解：由得，，

又因为存在常数，使得数列为等比数列，

则即，所以.

故数列为首项是2，公比为2的等比数列，即.

此时也满足，则所求常数的值为1且.

（2）解：由等比数列的性质得：

（i）当时，；

（ii） 当时，，

所以.

（3）解：注意到是首项、公比的等比数列，是首项、公比的等比数列，则

（i）当时，

；

（ii）当时，

.

即.

（1）由已知有，.2分

所以，

，5分

所以，

因为，所以.……………………8分

（2）即.由且得.2分

所以或……………………………3分

即或对任意成立，………………………5分

而，且，所以或.……………8分

（1）等，答案不唯一；……………4分

（2），当时最小值为9,；……………6分

，则,

因此，时，最大值为6，……………9分

所以，，数列是数列的“下界数列”；……………10分

（3）……………11分

，   ……………12分

不等式为，，……13分

设，则，

……………15分

当时，单调递增，时，取得最小值，因此……………17分

的最小值为   ……………18分

（1）由已知得，，，

所以，解得或。

又因为，所以。

所以。

又，，所以等比数列的公比，

所以。

（2）由  ①，得当时，

  ②，

①-②，得当时，，所以2)。

而时，，所以，所以。

所以

。

（1）当是奇数时，；当是偶数时，。

所以，当是奇数时，；当是偶数时，。 

又，，所以，，，…，，…是首项为1，公差为2的等差数列；

，，，…，，…是首项为2，公比为3的等比数列。        

所以，。        

（2）由（1），得

，

。        

所以，若存在正整数、，使得，则

。 

显然，当时，；

当时，由，整理得。

显然，当时，；

当时，，

所以是符合条件的一个解。                 

当时，

。       

当时，由，整理得，

所以是符合条件的另一个解。

综上所述，所有的符合条件的正整数对，有且仅有和两对。 

（1）因为数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”[来源:学科网ZXXK]

所以也是该数列的项，且-------------------1分

故-------------------3分

即。 -------------------4分

（2）设数列的公差为，因为数列是项数为项的有穷等差数列

若，则

即对数列中的任意一项

-------------------6分

同理可得：若，也成立，

由“兑换数列”的定义可知，数列是 “兑换数列”；-------------------8分

又因为数列所有项之和是，所以，即-------------------10分

（3）假设存在这样的等比数列，设它的公比为，

因为数列为递增数列，所以

则

又因为数列为“兑换数列”，则，所以是正整数[来源:学科网ZXXK]

故数列必为有穷数列，不妨设项数为项，------------------12分

则----------14分

①若则有，又，由此得，与矛盾；-------------------15分

②若。由，得

即，故，与矛盾；-------------------17分

综合①②得，不存在满足条件的数列。-------------------18分[来源:Zxxk.Com]