导数的运算_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

17．函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1,-11）

（1）求a、b的值；

（2）方程f（x）=c有三个不同的实数解，求c的取值范围。

正确答案

解析

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知识点

函数零点的判断和求解导数的几何意义导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

23. 设是二次函数，方程有两个相等的实根，且。

（1）求的表达式；

（2）求的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积。

正确答案

解析

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知识点

导数的运算定积分的简单应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.已知函数f（x）=（b∈R）,若存在x∈[,2],使得f（x）+xf'（x）>0,则实数b的取值范围是_______.

正确答案

(-∞,)

解析

f(x)+xf'(x)>0⇒[xf(x)]'>0,设g(x)=xf(x)=ln x+(x-b)2,

若存在x∈[,2],使得f(x)+xf'(x)>0,则函数g(x)在区间[,2]上存在子区间使得g'(x)>0成立.g'(x)=+2(x-b)=,设h(x)=2x2-2bx+1,则h(2)>0或h()>0,即8-4b+1>0或-b+1>0,得b<

知识点

导数的运算

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知函数，记为的导函数，若在R上存在反函数，且b > 0，则的最小值为（）

A

B2

C

D4

正确答案

D

解析

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知识点

函数的最值及其几何意义反函数导数的运算

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.已知函数f（x）=|sin x|的图象与直线y=kx（k>0）有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为α,令m=,n=.则（　　）.

Am=n

Bm<n

Cm>n

Dm与n的大小关系不确定

正确答案

A

解析

作出函数f(x)=|sin x|的图象与直线y=kx(k>0)的图象,如图.

要是两个函数有且仅有三个交点,则由图象可知,直线在(π,)内与f(x)相切,设切点为A(α,-sin α).

当x∈(π,)时,f(x)=|sin x|=-sin x,

此时f'(x)=-cos x,则-cos α=-,即α=tan α.

所以m=====n,故选A

知识点

导数的运算正弦函数的图象分析法的思考过程、特点及应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13.已知函数则f(x)的最小值是__________.

正确答案

4

解析

∵ ,

∴.

知识点

导数的运算

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7．设曲线在点（2，）处的切线与x轴交点的横坐标为an，则数列的前n项和为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

导数的几何意义导数的运算错位相减法求和数列与函数的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

20．已知为实常数，函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有两个不同的零点；

①求实数的取值范围；

②求证：.

正确答案

见解析

解析

（1）的定义域为．其导数．

①当时，，函数在上是增函数；

②当时，在区间上，；在区间上，．

所以在是增函数，在是减函数.

（2）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点;

当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，

所以，解得，

此时，，且，

令，则，

所以在上单调递增，所以，即

所以的取值范围是

②证法一：

下面证明：当时， .

设，则 .

在上是增函数，所以当时， .

即当时，..

.

②证法二：

令

则：，

所以函数在区间上为减函数.

,则,又

于是.

又由(1)可知 .即

考查方向

本题主要考查了导数的应用——利用导数求函数单调性，根据函数的零点求参数的取值范围。

解题思路

1利用导数求函数单调性，2根据函数的零点求参数的取值范围

3构造函数求两个零点和的范围

易错点

本题必须注意函数的定义域，以及对参数进行讨论，否则求解错误。

知识点

函数单调性的判断与证明函数零点的判断和求解导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21.己知函数f(x)=a（x-）-2lnx，其中a∈R．

（1）若f(x)有极值，求a的取值范围；

（2）讨论(x)的零点个数，并说明理由．(参考数值：ln2≈0. 6931)

正确答案

（1）0<a<1；

（2）当a≤0或a≥1时，有唯一零点；当0<a<1时，有三个零点．

解析

本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）直接按照步骤来求；

（2）要注意对参数的讨论．

（1），

因为f(x)定义域为（0，+∞），

所以ax2-2x+a=0有正根且不为等根。

显然a≠0,由x1x2=1>0.得Δ>0且x1+x2>0,所以 0<a<1 。

（2）由上知，，

因为x∈（0，+∞），①若a≤0,则<0恒成立，所以f(x)在（0，+∞）单调递减，因为f(1)=0,所以f(x)的零点唯一；

②若a≥1,则≥0恒成立，所以f(x)在（0，+∞）单调递增，因为f(1)=0,所以f(x)的零点唯一；

③若0<a<1,记x1,x2分别为ax2-2x+a=0的两根，且x1<1<x2,且f(x)在（0，x1）单调递增，在（x1，x2）单调递增，（x2，+∞）单调递增。

因为f(1)=0,所以f(x1)>0，f(x2)<0.当x∈（0，x1）时，取

显然，>0，

所以h(a)在（0，1）单调递增，所以，

故f(x)在有一个零点；因为，

则f(x)在有一个零点；

综上可知：当a≤0或a≥1时，有唯一零点；当0<a<1时，有三个零点．

考查方向

本题考查了利用导数求含参数的函数极值，分类讨论，讨论点大体可以分成以下几类：

1、根据判别式讨论；

2、根据二次函数的根的大小；

3、定义域由限制时，根据定义域的隐含条件；

4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论；

5、多次求导求解等．

解题思路

无

易错点

第二问中的易丢对a的分类讨论。

知识点

函数零点的判断和求解导数的运算

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12．已知定义在R上的奇函数的图象为一条连续不断的曲线，，，且当0 < x < 1时，的导函数满足：，则在上的最大值为（）

Aa

B0

C-a

D2016

正确答案

C

解析

由可知函数的对称轴为x = 1，由是定义在R上的奇函数可知的图像过原点，令，则，因此是减函数，在（0，1）上为减函数，据此可以画出的草图（如图）,易知是周期为4的周期函数，于是，在上单调递减，其最大值为，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查了函数的单调性、周期性、奇偶性等性质，同时考察了数形结合思想，该类综合性在近几年各省的高考试题中频繁出现，需要引起重视。

解题思路

根据题目中的信息画出符合条件的函数的草图，结合草图利用函数的周期性予以解决。

易错点

本题容易因为不理解这一条件所反映的信息而无法做答。

知识点

函数单调性的判断与证明函数的最值及其几何意义导数的运算

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易错点

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