导数的运算_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知函数f（x）＝x＋，g（x）＝＋a，若∈[，1]，∈[2，3]，使得

f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是

Aa≤1

Ba≥1

Ca≤2

Da≥2

正确答案

A

解析

f（x）min=f（1）=5, g（x）min = g（2）=4+a,得a≤1。B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

考查方向

本题主要考查函数的值域

解题思路

1、求出f（x）在[，1]上的最小值，g（x）在[2,3]上的最小值；

2、求出f（x）min≥g（x）min，即可得到结果。B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

易错点

本题易在判断范围大小时发生错误。

知识点

指数函数的图像与性质导数的运算不等式恒成立问题

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．设函数f（x）＝－mlnx，g（x）＝－（m＋1）x．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当m≥0时，讨论函数f（x）与g（x）图象的交点个数．

正确答案

（1）当时，函数的单调增区间是，无减区间；当时，函数的单调增区间是，减区间是；（2）一个．

解析

⑴解：函数的定义域为，，

当时，，所以函数的单调增区间是，无减区间；

当时，；

当时，，函数的单调递减；

当时，，函数的单调递增.

综上：当时，函数的单调增区间是，无减区间；当时，函数的单调增区间是，减区间是.⑵解：令，问题等价于求函数的零点个数，当时，，有唯一零点；当时，，当时，，函数为减函数，注意到，，所以有唯一零点；当时，或时，时，所以函数在和单调递减，在单调递增，注意到，，所以有唯一零点；当时，或时，时，所以函数在和单调递减，在单调递增，意到，所以，而，所以有唯一零点. 综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.

考查方向

本题考查了利用导数求含参数的函数极值，分类讨论，讨论点大体可以分成以下几类：

1、根据判别式讨论；

2、根据二次函数的根的大小；

3、定义域由限制时，根据定义域的隐含条件；

4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论；

5、多次求导求解等．

解题思路

1、求导，然后解导数不等式，求单调区间。

2、对参数分类讨论得结论。

易错点

第二问中的易丢对a的分类讨论。

知识点

函数的单调性及单调区间函数零点的判断和求解导数的运算

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.若在区间上取值，则函数在R上有两个相异极值点的概率是

A

B

C

D

正确答案

C

解析

函数在R上有两个相异的极值点等价于它的导函数有两个不等的实数根，即根的判别式为大于零，可以得到，由几何概型可知，，所以选C

考查方向

本题主要考查概率的集合概型，导数的运用，属于难题。

解题思路

先求导，利用根的判别式判断，最后利用几何概型求解。

易错点

不理解，不会将未知内容转化成已学过的知识。

知识点

导数的运算与长度、角度有关的几何概型

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20.已知函数，直线.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）求证：对于任意，直线都不是曲线的切线；

（Ⅲ）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由.

正确答案

（Ⅰ）所以函数有极小值，无极大值．

（Ⅲ）当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点.。

解析

（Ⅰ）解：函数定义域为，

求导，得，

令，解得．

当变化时，与的变化情况如下表所示：

所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，

所以函数有极小值，无极大值．

（Ⅱ）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切，

设切点为，又因为，

所以切线满足斜率，且过点，

所以，

即，此方程显然无解，

所以假设不成立．

所以对于任意，直线都不是曲线的切线.

（Ⅲ）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.

由方程，得.

令，则，其中，且.

考察函数，其中，

因为时，

所以函数在单调递增，且.

而方程中，，且.

所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，

故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点.

考查方向

本题以导数性质的应用为背景，通过考查导数的几何意义即切线斜率，函数极值、判断函数图像与直线交点个数为载体，对学生综合运用函数与方程的思想、运用导数解决函数相关问题的能力进行较为全面的考查。为历届高考命题焦点，很好地体现了高考命题的精神和方向。

解题思路

1、第一问写出函数的定义域，求出导数，然后令导数等于零解方程，列表求极值。

2、第二问直接不易证明，可考虑使用反证法：假设存在某个，使得直线与曲线相切，然后可设出切点，利用切点处导数值为斜率与已知直线方程建立联系，从而推出矛盾进而得到证明。

3、判断曲线与直线的交点个数问题可以考虑通过函数的极值与直线的相对位置关系以及函数图像的特点采用数形结合的方法判断交点个数；也可以转化为方程判断根的个数进而确定图像交点的个数。由第一问可看出图像较复杂，采用数形结合的办法不容易解决，于是可考虑转化为判断方程根的个数来解决问题，通过分离参数k进一步转化为根的个数问题，再通过换元、构造新函数，根据其特点即可逐步解决问题。

易错点

第一问中不交待极大值不存在而失分或未考虑函数的定义域而出错；

知识点

函数零点的判断和求解导数的几何意义导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21. 设函数，（）

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若在内有极值点，当，，

求证：.（）

正确答案

（1）函数单调增区间为：，；单调减区间为：，；

（2）略．

解析

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）直接按照步骤来求；（2）要注意对参数的讨论．

（Ⅰ）函数的定义域为，当时，，

令：，得：或，

所以函数单调增区间为：，

，得：，

所以函数单调减区间为：，

（Ⅱ）证明：，

令：，

所以：，，若在内有极值点，

不妨设，则：，且

由得：或，

由得：或

所以在递增，递减；递减，递增

当时，；

当时，

所以：

，

设：，，则

所以：是增函数，所以

又：

所以：

考查方向

本题考查了利用导数求含参数的函数极值，分类讨论，讨论点大体可以分成以下几类：

1、根据判别式讨论；

2、根据二次函数的根的大小；

3、定义域由限制时，根据定义域的隐含条件；

4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论；

5、多次求导求解等．

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

1、求导，然后解导数不等式，求单调区间。

2、对参数分类讨论证得结论。

易错点

第二问中的易丢对a的分类讨论。

知识点

函数的单调性及单调区间导数的运算不等式的证明

热门试卷

正确答案

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