导数的运算_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

20.(本小题满分13分)

已知.

（I）讨论的单调性；

（II）当时，证明对于任意的成立

正确答案

知识点

函数的单调性及单调区间函数性质的综合应用导数的运算不等式的性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

21.（本小题满分12分）

(I)讨论函数的单调性，并证明当 >0时，

(II)证明：当时，函数有最小值.设g（x）的最小值为，求函数的值域.

正确答案

知识点

导数的运算简单复合函数的导数

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

22.已知函数，（），函数，（）.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，，求取值范围.

正确答案

（1）①当时，，所以的增区间为；

②当时，减区间为增区间为.

（2）

解析

（1）

①当时，，所以的增区间为；

②当时，减区间为增区间为.

（2）由题意得恒成立，

构造函数，

显然时，恒成立，下面考虑时的情况.

，，

当时，，所以在为增函数，所以

，即满足题意；

当时，，又，所以一定存在，，且，所以在单调递减，所以，，不满足题意.综上，取值范围为.

考查方向

本题主要考查利用导数求函数的单调区间及解决不等式中的恒成立问题，综合性较强。

解题思路

（1）求出导数，再分类讨论求单调区间。

（2）构造函数把恒成立问题转化为求最值问题。

易错点

（1）第一问不能对b进行分类讨论。

（2）第二问不能转化为恒成立问题解决。

（3）分类讨论不严密。

知识点

函数的单调性及单调区间导数的运算

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

21.已知函数 f(x)=ln(x+1)-x .

(1)求f(x)的单调区间,

(2)若k∈Z，且f(x-1)+x＞k (1-3 )对任意x＞1恒成立，求k的最大值,

(3)对于在区间（0，1)上的任意一个常数a，是否存在正数x。，使得ef(x0 ) ＜ 1 -x成立？请说明理由.

正确答案

（1）f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是（0，+∞）；

（2）4；

（3）存在正数x。

解析

考查方向

本题考查了利用导数求单调区间，导数与不等式综合应用求恒成立问题和存在性问题

解题思路

易错点

1、第二问中的易丢对K的分类讨论。

知识点

函数的单调性及单调区间导数的运算不等式恒成立问题

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

16．已知为R上的连续可导函数，且，则函数
的零点个数为___________．

正确答案

0

解析

考查方向

本题主要考察导数与函数单调性的关系以及零点的求法。

解题思路

易错点

无法从条件中捕捉到有效信息，向结论靠拢。

知识点

函数零点的判断和求解导数的运算

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题型：单选题

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单选题 · 13 分

（本小题满分13分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；

（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由．

A

正确答案

A

考查方向

本题考查了利用导数研究 “过点问题”的切线方程求法，考查了导数综合运用中的“恒成立问题”，还考查了分类讨论、数形结合等数学思想方法的灵活应用，意在训练考生的运算能力，分析问题和解决问题的能力，较难。

易错点

1、第一问在对分类讨论求单调区间时由于比较繁琐而易出现错误。

知识点

函数的单调性及单调区间导数的几何意义导数的运算

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题型：简答题

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简答题 · 5 分

16.f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f'(x)，若f(x)—f'(x) ＜1，f(0) = 2016,则不等式e x f(x) ＞e x + 2015(其中e为自然对数的底数）的解集为 .

正确答案

解析

设，则；所以在定义域上单调递减；∴∵e x f(x) ＞e x + 2015，∴

考查方向

本题主要考查导数与不等式综合应用

解题思路

构造函数，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值即可求解

易错点

如何构造函数，利用函数的单调性求解

知识点

导数的运算其它不等式的解法

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．已知函数（为自然对数的底数，为常数）在点处的切线斜率为．

（Ⅰ）求的值及函数的极值；

（Ⅱ）证明：当时，；

（Ⅲ）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有．

正确答案

（Ⅰ）见解析

（Ⅱ）见解析

（Ⅲ）见解析

解析

（Ⅰ）解,由，得．

因为,所以．

所以，．

令,得．

当时, 单调递减；当时, 单调递增．

所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值．

（Ⅱ）证明,令,则．

由（Ⅰ）得,故在R上单调递增．

所以当时，，即．

（Ⅲ）证明一,①若,则．

由（Ⅱ）知，当时，．所以当时, ．

取,当时，恒有．

②若,令,

要使不等式成立，只要成立．

而要使成立，则只要,只要成立．

令,则．

所以当时, 在内单调递增．

取,所以在内单调递增．

又，

易知．

所以．即存在,当时，恒有．

综上，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有．

证明二,对任意给定的正数，取，

由（Ⅱ）知，当时，，所以．

当时，．

因此，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有．

证明三,首先证明当时，恒有．

令，则．

由（Ⅱ）知，当时，，

从而，在上单调递减。

所以，即．

取，当时，有．

因此，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有．

考查方向

本题考查导数与函数极值问题。

解题思路

易错点

第一问建议做出极值表便于观察，防止出错；

第二问忽略证明第一问时得到的结论。

知识点

导数的几何意义导数的运算不等式恒成立问题

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.已知是定义在上的偶函数，

且当时不等式恒成立，

若，，，

则的大小关系是（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

试题分析：令，则，所以当时，，即单调递减．又是定义在上的偶函数，所以是奇函数且为减函数．因为，，，所以，故选D．

考查方向

本题主要考查了函数的奇偶性、导数的应用等知识点，为高考必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数的性质、导数的应用等知识点交汇命题。

解题思路

构造函数，利用其单调性、奇偶性即可判断其大小关系。

易错点

不能构造出新函数导致出错。

知识点

函数奇偶性的性质指数幂的运算对数值大小的比较导数的运算

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

21.已知函数.

（1）若恒成立，试确定实数的取值范围；

（2）证明：.

正确答案

（1）；

（2）见解析．

解析

试题分析：本题属于导数与函数最值的关系、不等式恒成立问题等知识点的综合应用问题，属于拔高题，第二问不容易得分，解析如下：

（1）解：由有：，

即：，令，

，解得x=1，

在(0,1)上，；在上，.

所以h(x)在x=1时，取得最大值h(1)=1，即

（2）证明：由（1）知，当k=1时，，当且仅当x=1时，取等号.

令，有，

所以有：，，...，，

累加得：.

考查方向

本题考查了导数与函数最值的关系、不等式恒成立问题等知识点。

解题思路

由函数的极值、最值逆求参数的值(或取值范围)问题，往往需要对参数进行分类讨论，如何划分参数讨论的区间成为思维的难点．由于这类问题涉及函数的单调区间，因此分类的标准是使函数在指定的区间内其导数的符号能够确定为正或为负．

易错点

知识点

导数的运算不等式恒成立问题

热门试卷

正确答案

知识点

正确答案

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

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易错点

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