热门试卷

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合问题，题目的难度较大，（1）直接求圆心和半径（2）证明定值问题时，要先表示出来，再通过计算化简得到（3）的最大值涉及到基本不等式，要能正确地使用基本不等式。

（1）因为椭圆右焦点的坐标为，所以圆心的坐标为，

从而圆的方程为.

（2）①因为圆与直线相切，所以，

即，

同理，有，

所以是方程的两根，

从而.

②设点，联立，

解得，

同理，，

所以

， 当且仅当时取等号. 所以的最大值为.

试题分析：本题是直线与圆锥曲线的常见题型，运算量较大。此类问题往往要用到韦达定理，设而不求等方法技巧，把几何关系转化为代数运算。

（Ⅰ）因为，所以解得，所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）若存在满足题意的定圆，设该定圆半径为，则直线与该定圆相切，由对称性及可知，此时直线方程为，其与椭圆交于，故，解得，下面说明定圆满足题意．

①由上述讨论可知，切线于椭圆交于两点，满足．由椭圆与圆均关于轴对称可知，切线也满足题意．

②当切线不与轴垂直时，设切线方程为，交于．

则圆心到切线的距离，即．

由得，，

所以

，且．

所以，．

所以，，

所以．

综上所述，存在定圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且．