- 函数单调性的性质
- 共479题
函数的单调递增区间是 。
正确答案
解析
略
知识点
已知函数(
为常数)。
(1)函数的图象在点(
)处的切线与函数
的图象相切,求实数
的值;
(2)若,
、
使得
成立,求满足上述条件的最大整数
;
(3)当时,若对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数
,
,都有
成立,求
的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)∵,∴
,
,
∴函数的图象在点(
)处的切线方程为
,
∵直线与函数
的图象相切,由
消去y得
,
则,解得
-
(2)当时,∵
,
∴,-
当时,
,∴在
上单调递减,
,
-
则,
∴,故满足条件的最大整数
.-
(3)不妨设,∵函数
在区间[1,2]上是增函数,∴
,
∵函数图象的对称轴为
,且
,∴函数
在区间[1,2]上是减函数,
∴,-
∴等价于
,
即,
等价于在区间[1,2]上是增函数,
等价于在区间[1,2]上恒成立,
等价于在区间[1,2]上恒成立,
∴,又
,∴
.-
知识点
已知复数(
为虚数单位),复数
,则一个以
为根的实系数一元二次方程是________.
正确答案
解析
略
知识点
某公司承建扇环面形状的花坛如图所示,该扇环面花坛是由以点为圆心的两个同心圆弧
、弧
以及两条线段
和
围成的封闭图形,花坛设计周长为30米,其中大圆弧
所在圆的半径为10米,设小圆弧
所在圆的半径为
米(
),圆心角为
弧度。
(1)求关于
的函数关系式;
(2)在对花坛的边缘进行装饰时,已知两条线段的装饰费用为4元/米,两条弧线部分的装饰费用为9元/米,设花坛的面积与装饰总费用的比为,当
为何值时,
取得最大值?
正确答案
(1)(2)当
时,花坛的面积与装饰总费用的比最大
解析
(1)设扇环的圆心角为,则,
所以,
(2)花坛的面积为
。
装饰总费用为,
所以花坛的面积与装饰总费用的比,
令,则
,当且仅当t=18时取等号,
此时。
答:当时,花坛的面积与装饰总费用的比最大。
知识点
已知椭圆的右焦点为
,短轴的端点分别为
,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点且斜率为
的直线
交椭圆于
两点,弦
的垂直平分线与
轴相交于点
.设弦
的中点为
,试求
的取值范围。
正确答案
(1)(2)
解析
(1)依题意不妨设,
,则
,
.
由,得
.
又因为,
解得.
所以椭圆的方程为
.
(2)依题意直线的方程为
.
由得
.
设,
,则
,
.
所以弦的中点为
.
所以
.
直线的方程为
,
由,得
,则
,
所以.
所以.
又因为,所以
.
所以.
所以的取值范围是
.
知识点
设,若
,则
正确答案
解析
略
知识点
已知函数,
。
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在区间
的最小值为
,求
的值。
正确答案
(1)当时,函数
的单调减区间是
,
当时,函数
的单调减区间是
,单调增区间为
(2)
解析
函数的定义域是
,
。
(1)(i)当时,
,故函数
在
上单调递减。
(ii)当时,
恒成立,所以函数
在
上单调递减。
(iii)当时,令
,又因为
,解得
。
①当时,
,所以函数
在
单调递减。
②当时,
,所以函数
在
单调递增。
综上所述,当时,函数
的单调减区间是
,
当时,函数
的单调减区间是
,单调增区间为
。…7分
(2)(i)当时,由(1)可知,
在
上单调递减,
所以的最小值为
,解得
,舍去。
(ii)当时,由(1)可知,
①当,即
时,函数
在
上单调递增,
所以函数的最小值为
,解得
。
②当,即
时,函数
在
上单调递减,
在上单调递增,所以函数
的最小值为
,
解得,舍去。
③当,即
时,函数
在
上单调递减,
所以函数的最小值为
,得
,舍去。
综上所述,。 ……………13分
知识点
设函数,
;
,
.
(1)求函数的单调区间;
(2)当时,求函数
的最大值;
(3)设,且
,
,证明:
.
正确答案
见解析。
解析
(1)显然的定义域为
,
,
令,
ⅰ)当时:在区间
上,
恒成立,故
的增区间为
;
ⅱ)当时:在区间
上,
恒成立,故
的减区间为
;
在区间上,
恒成立,故
的增区间为
.
(2)ⅰ)时,
,所以
;
ⅱ)时,易知
,
于是:,
,
由(1)可知, 下证
,
即证明不等式在
上恒成立。
(法一)由上可知:不等式在
上恒成立,
若,则
,
故,
即当时,
,从而
,
故当时,
恒成立,即
.
(法二)令,
,则
,列表
如下:
由表可知:当
时,
,
即恒成立,即
.
由于,且
,
故函数区间
内必存在零点。
又当时,
,
于是指数函数为增函数
为增函数,
同理当时,
,
于是指数函数为减函数
也为增函数,
于是,当时,
必为增函数,
从而函数在区间
内必存在唯一零点,不妨记为
,则
,
易知当时,
,此时
单调递减;
当时,
,此时
单调递增,
又易知,故
;
综上,当时,
在
上的最大值为
.
(3)证法一:令, 显然有:
,
,
则不等式.
注意到:,且
,
,即
,且
,
于是,
,
故,
从而,即
,又
,
故原不等式成立,证毕.
证法二:同上可将不等式化为:
,
即,令
,则等价于证明:当
时,有
成立,
又,
故,
于是,即
得证,
又,故原不等式
成立,证毕。
知识点
函数的定义域为实数集
,
对于任意的
都有
.若在区间
上函数
恰有四个不同的零点,则实数
的取值范围是…………………………………………( ).
正确答案
解析
略
知识点
若,则
的最大值为 。
正确答案
1/2
解析
略
知识点
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