函数单调性的性质
共479题

· 函数单调性的性质

函数单调性的性质
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题型：单选题

单选题 · 5 分

如图，已知点O是边长为1的等边的中心，则等于

正确答案

解析

设E,F分别是AC,AB的中点，则BE=CF= ,OF=CF,OE=BE,∠EOF=120°,=，故选D.

知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆C: 的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点M(2，0)的直线与椭圆C交于两点A和B，设P为椭圆上一点，且满足·（O为坐标原点），当时，求实数t取值范围。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）由题意知，短半轴长为：， …………1分

∵，∴，

即，∴， ……… …………………2分

故椭圆的方程为：. ………………3分

（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线：，……4分

设，，，

由得，.…………5分

，解得. …………6分

∵，∴，解得，. ………………7分

∵点在椭圆上，∴，

∴. ………………………8分

∵，∴，

∴，∴，

∴，∴ …………………10分

∴，∵，∴，

∴或，

∴实数取值范围为. ………………12分

知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数

（1）若函数在其定义域内为单调函数，求a的取值范围;

（2）若函数的图像在x=1处的切线斜率为0，且，（，）证明：对任意的正整数n, 当时，有.

正确答案

见解析。

解析

（1）函数的定义域是

因为所以有所以　………………1分

………………2分

1）当时，恒成立，所以函数在上单调递减; …3分

2）当时，若函数在其定义域内单调递增，

则有恒成立即

因为所以且时不恒为0. ………………4分

若函数在其定义域内单调递减，则有恒成立即

因为所以

综上，函数在定义域内单调时的取值范围是　………5分

（2）因为函数的图像在x=1处的切线斜率为0，所以

即所以

所以　　　　　 ………………………………6分

令　说明：此处可有多种构造函数的方法，通

所以……７分　常均需要讨论ｎ是奇数还是偶数

当是偶数时，因为所以　　可参照答案所示　每种情况酌情赋2-3分

所以

所以即函数在单调递减

所以，即　　　　 ………………………9分

当是奇数时，令则

所以函数在单调递减，所以……10分

又因为时所以

所以即函数在单调递减 ………………11分

所以，即

综上，对任意的正整数n,当时，有.………………12分

知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2。

（1）求证：BC⊥平面A1DC；

（2）若CD = 2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值。

正确答案

见解析。

解析

以D为原点，分别以为x,y,z轴的正方向，

建立空间直角坐标系D-xyz …………5分

说明：建系方法不唯一，不管左手系、右手系只要合理即可

在直角梯形CDEB中，过E作EFBC，EF=2，BF=1，BC=3…………6分

B（3，0，-2）E（2，0，0）C（0，0，-2）A1（0，4，0） …………8分

…………9分

设平面A1BC的法向量为

令y=1,…10分

设BE与平面A1BC所成角为， …………12分

知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆：（）的短轴长为4，离心率为，其一个焦点在抛物线：（）的准线上，过点的直线交于两点，交于两点，分别过点作的切线，两切线交于点.

（1）求，的方程；

（2）求面积的最小值.

正确答案

见解析

解析

（1）∵，∴。∵，∴，

∴.·

∵的焦点为，∴，∴.

（2）设，，，，.

由（1）知，

∴过点的切线方程为，即.

过点的切线方程为.

又∵这两条直线均过点，

∴，，

∴点均在直线上.

∴直线的方程为，

又∵直线AB过点，∴.

∴直线AB的方程为.

解法一：联立方程组

得，。

点到直线的距离为.

∴△面积

设，∴ .

∴，

∴当时，（t）为单调递增函数.

∴.·

知识点

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