函数单调性的性质
共479题

· 函数单调性的性质

函数单调性的性质
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题型：简答题

简答题 · 13 分

已知数列满足，，()

（1）若，数列单调递增，求实数的取值范围；

（2）若，试写出对任意成立的充要条件，并证明你的结论.

正确答案

见解析。

解析

（1）若，则，

由，

得或，所以只需或.

所以实数的取值范围为∪. …………6分

（2）对任意成立的充要条件为.

必要性：由，解出；

（另解：假设，得，令，，可得：，即有.）

充分性：数学归纳法证明：时，对一切，成立.

证明：（i）显然时，结论成立；

（ii）假设时结论成立，即，

当时，.

考察函数，，

① 若，由，知在区间上单调递增.由假设得.

② 若，对总有，

则由假设得.

所以，时，结论成立，

综上可知：当时，对一切，成立.

故对任意成立的充要条件是.

知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

一个口袋中装有大小相同的n个红球(n≠5且n）和5个白球，红球编号为1,2…n。白球编号为1,2，…5：每次从中任取两个球，当两个球颜色不同时，则规定为中奖。

（1）若一次取球中奖的概率p，试求p的最大值及相应的n值；

（2）若一次取球中奖，且p取最大值，设取出的红球编号为a,白球编号为b；记随机变量x=|a-b|,求x的分布列.期望。

正确答案

见解析。

解析

（1）每次从个球中任取两个，有种方法，它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有种，

所以一次取球中奖的概率为。且

即，当或时取等号，而

故的最大值等于及相应的的值为4

（2）由（1）知：袋中有红球4个，白球5个，

∴

随机变量的所有可能取值为

; ; ; ; ;

故X的分布列是：

∴ .

知识点

函数单调性的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

给出下列说法：

①命题“若，则”的否命题是假命题；

②命题p：,使，则：；

③“”是“函数为偶函数”的充要条件；

④命题：“，使”，命题：“在△ABC中，若,则”.那么命题（）为真命题.

其中正确的个数是

正确答案

解析

命题“若，则”的否命题是“若，则”，是假命题，因此①正确；命题使，则完全符合命题否定的规则，因此②也正确；“函数为偶函数”的充要条件是，即，因此③错误；命题，使”中，当时，，即，使”为假命题，而命题中，若，则”为真命题，可知命题（）为真命题，因此④正确.一共有3个正确. 故选B.

知识点

函数单调性的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点、，是两曲线的一个公共点，若，则等于

正确答案

A,B,C,D

解析

椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为2c，且不妨设m＞n，由，得，‍解得，选C

知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，令.

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；

（3）若，正实数满足，证明：。

正确答案

见解析

解析

（1）

由得又所以，所以的单增区间为.

（2）方法一：令

所以。

当时，因为，所以所以在上是递增函数，

又因为

所以关于的不等式不能恒成立，

当时，。

令得，所以当时，当时，。

因此函数在是增函数，在是减函数，

故函数的最大值为

令因为

又因为在上是减函数，所以当时，。

所以整数的最小值为2。

方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立。

问题等价于在上恒成立，令，只要，

因为令得。

设，因为，所以在上单调递减，

不妨设的根为，当时，当时，。

所以在上是增函数；在上是减函数。

所以，

因为

所以此时所以即整数的最小值为2

（3）当时，

由即

从而令则由得，

可知在区间（0，1）上单调递减，在区间上单调递增。所以

所以即成立.

知识点

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