函数单调性的性质_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7．将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为，则函数在上为增函数的概率是（）

A

B

C

D

正确答案

B

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知识点

函数单调性的性质古典概型的概率

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

9．在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为（）．

正确答案

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函数单调性的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

20．已知函数

（Ⅰ）当时，求函数的极小值；

（Ⅱ）当时，过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求实数的值；

（Ⅲ）设定义在上的函数在点处的切线方程为

当时，若在内恒成立，则称为函数的“转

点”。当时，试问函数是否存在“转点”。若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由。

正确答案

（Ⅰ）当时，，

当时，；当时；当时.

所以当时，取到极小值。

（II)，所以切线的斜率

整理得,显然是这个方程的解，

又因为在上是增函数，

所以方程有唯一实数解，故.

(III)当时，函数在其图象上一点处的切线方程为

，

设，则，

若，在上单调递减，

所以当时，此时；

所以在上不存在“转点”.

若时,在上单调递减,所以当时, ，此时，

所以在上不存在“转点”.

若时，即在上是增函数，

当时，，

当时，，即点为“转点”，

故函数存在“转点”，且是“转点”的横坐标.

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函数单调性的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 18 分

23．函数，，其中，若对任意，，则称在内为对等函数．

（1）指出函数，，在其定义域内哪些为对等函数；

（2）试研究对数函数（且）在其定义域内是否是对等函数？若是，请说明理由；若不是，试给出其定义域的一个非空子集，使在所给集合内成为对等函数；

（3）若，且在内为对等函数，对于下列三组问题只需选做一种，满分分别是①3分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。

①举一例说明满足条件的函数可以既不是奇函数也不是偶函数；

②若对任意，都有，求证：为偶函数；

③试研究：在不同条件下，函数的奇偶性。

正确答案

（1），是对等函数；

（2）研究对数函数，其定义域为，所以，又，所以当且仅当时成立．所以对数函数在其定义域内不是对等函数．（分类讨论举也可）····

当时，若，则，此时是对等函数；

总之，当时，在及其任意非空子集内是对等函数；

当时，在及其任意非空子集内是对等函数．

（3）①例如函数；（为正数即可，例子不唯一）

②若对任意都有．当时，，

当时，，则有；

综上讨论，当时，若，则是偶函数．

③1）若对任意，都有．则是偶函数．证明见②

2）若对任意，都有当时，，当时，，则有；又综上讨论，若当时，，则是奇函数．

3）若存在，使得，也存在，使得，例如①，则既不是奇函数也不是偶函数。

4）若函数，则既是奇函数也是偶函数。

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函数单调性的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9．已知等差数列中，，记数列的前项和为，若，对任意的成立，则整数的最小值为（）

A5

B4

C3

D2

正确答案

B

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函数单调性的性质

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

2．已知，，则“”是“”的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

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函数单调性的性质

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

20．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点。过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线的斜率为1时，求的面积；

（Ⅲ）在线段上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形？

若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。

正确答案

（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为．

∵ 两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，

∴ ．

所求椭圆方程为．

（Ⅱ）右焦点，直线的方程为．

设，

由得，解得．

∴ ．

（Ⅲ）假设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与轴不垂直，所以设直线的方程为．

由可得．

∴．

．其中

以为邻边的平行四边形是菱形

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函数单调性的性质

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

16．设函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调减区间；

（Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在区间上的最小值．

正确答案

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函数单调性的性质

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于 37，则输入的整数i的最大值为（）

A3

B4

C5

D6

正确答案

C

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函数单调性的性质

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知为线段上一点，为直线外一点，为上一点，满足，，，且，则的值为（）

A

B3

C4

D5

正确答案

B

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函数单调性的性质

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