函数单调性的性质
共479题

· 函数单调性的性质

函数单调性的性质
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数.

（1）试判断函数在上单调性并证明你的结论；

（2）若恒成立, 求整数的最大值；

（3）求证：.

正确答案

见解析

解析

解析：（1）

上是减函数.------4分

（2）即h（x）的最小值大于k.

则上单调递增,

又存在唯一实根a, 且满足

当

∴ 故正整数k的最大值是3 ----9分

（3）由（2）知∴

令, 则

∴ln（1＋1×2）＋ln（1＋2×3）＋…＋ln[1＋n（n＋1）]

∴（1＋1×2）（1＋2×3）…[1＋n（n＋1）]＞e2n－3

知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

若椭圆C：的离心率e为, 且椭圆C的一个焦点与抛物线y2＝－12x的焦点重合。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设点M（2,0）, 点Q是椭圆上一点, 当|MQ|最小时, 试求点Q的坐标；

（3）设P（m,0）为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点, 过P点斜率为k的直线l交椭圆与A,B两点, 若|PA|2＋|PB|2的值仅依赖于k而与m无关, 求k的值．

正确答案

解析

解析：（1）∵依题意a=5,c=3∴椭圆C的方程为： ························2

（2）设Q（x,y）, －5≤x≤5

∴|MQ|2＝（x－2）2＋y2＝x2－4x＋4＋16－x2＝x2－4x＋20

∵对称轴x＝＞5∴当x＝5时, |MQ|2达到最小值,

∴当|MQ|最小时, Q的坐标为（5,0） ························6

知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知是椭圆的左,右顶点，B(2,0)，过椭圆C的右焦点的直线交椭圆于点M, N, 交直线于点，且直线，，的斜率成等差数列。

（1）求椭圆C的方程；

（2）若记的面积分别为求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）令由题意可得

椭圆方程为 -----------------5分

（2）

由方程组消x, 得

① ② -----------------8分

①2/②得

-----------------13分

知识点

函数单调性的性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知平面向量，，满足，，，的夹角等于，且，则的取值范围是。

正确答案

解析

如图，设△ABC中，由余弦定理得，由知，点的轨迹是以为直径的圆，且，故；

知识点

函数单调性的性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

设，，其中是常数，且。

（1）求函数的最值；

（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立；

（3）设，且，证明：对任意正数都有：。

正确答案

见解析

解析

（1）∵， -----------------1分

由得，，

∴，即，解得，-----------------3分

故当时，；当时，；

∴当时，取最大值，

没有最小值， -----------------4分

（2）∵，

又当时，令，则，故，

因此原不等式化为，

即，

令，则，

由得：，解得，

当时，；当时，。

故当时，取最小值

， -----------------7分

令，则。

故，即。

因此，存在正数，使原不等式成立， -----------------9分

（3）由（1）恒成立，故，

取，即得，

即，故所证不等式成立， -----------------14分

法二：先证

令，，

则，而时，；，

，，

∴，令，

则有。

知识点

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