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题型:简答题
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简答题 · 12 分

某象棋比赛规则如下:两名选手比赛时,每局胜者得1分,负者得分,比赛进行到有一人比对方多分或打满局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时,甲、乙每局获胜的概率分别为,且各局比赛胜负互不影响.

(1)求比赛进行局结束,且乙比甲多得分的概率;

(2)设表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量的分布列和数学期望。

正确答案

(1)(2)

解析

(1)比赛进行局结束,且乙比甲多得分即头两局乙胜一局,3,4局连胜,

则所求概率为.           …………………………………… 4分

(2)由题意知,的取值为.

的分布列为

………10分

                       ……………………12分

知识点

异面直线的判定
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知公比不为的等比数列的首项,前项和为,且成等差数列。

(1)求等比数列的通项公式;

(2)对,在之间插入个数,使这个数成等差数列,记插入的这个数的和为,求数列的前项和

正确答案

见解析

解析

(1)因为成等差数列,

所以,………………………………………………2分

,所以,因为,所以,……………4分

所以等比数列的通项公式为;………………………………………………6分

(2),………………………………………………………9分

,………………………………………………………12分

知识点

异面直线的判定
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,在直三棱柱中,,点分别在棱上,且


(1)求四棱锥的体积;

(2)求所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值。

正确答案

(1)4(2)

解析

解析:(1)……7分

(2)建立如图所示的直角坐标系,则

,,,

,    ……………………2分

设平面的法向量为,则

所以       ……………………………2分

平面的法向量为,则

所以所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值为

知识点

异面直线的判定
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,,现将 沿线段EF折起到位置,使得.

(1)求五棱锥的体积;

(2)求平面与平面的夹角.

正确答案

见解析

解析

(1)连接,设,由是正方形,

的中点,且,从而有

所以平面,从而平面平面,……………2分

过点垂直且与相交于点

平面………………………………4分

因为正方形的边长为

得到:,所以

所以

所以五棱锥的体积;……………6分

(2)由(1)知道平面,且,即点的交点,

如图以点为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则………………………7分

设平面的法向量为,则

,则,………………………9分

设平面的法向量,则

,则,即, ………………………………11分

所以,即平面与平面夹角.………………………12分

知识点

异面直线的判定
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题型:简答题
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简答题 · 10 分

如图,平面平面ABC,是等腰直角三角形,AC =BC= 4,四边形ABDE是直角梯形,BD∥AE,BD BA,,

求直线CD和平面ODM所成角的正弦值。

正确答案

见解析。

解析

,又∵面,面

,∵BD∥AE,∴,              

如图所示,以C为原点,分别以CA,CB为x,y轴,以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,

∴设各点坐标为

设平面ODM的法向量,则由

可得

,则,∴,          

设直线CD和平面ODM所成角为,则

∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为,          

知识点

异面直线的判定
下一知识点 : 空间中直线与直线之间的位置关系
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