- 异面直线的判定
- 共23题
某象棋比赛规则如下:两名选手比赛时,每局胜者得1分,负者得分,比赛进行到有一人比对方多分或打满局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时,甲、乙每局获胜的概率分别为和,且各局比赛胜负互不影响.
(1)求比赛进行局结束,且乙比甲多得分的概率;
(2)设表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量的分布列和数学期望。
正确答案
(1)(2)
解析
(1)比赛进行局结束,且乙比甲多得分即头两局乙胜一局,3,4局连胜,
则所求概率为. …………………………………… 4分
(2)由题意知,的取值为.
则,
故的分布列为
………10分
则 ……………………12分
知识点
已知公比不为的等比数列的首项,前项和为,且成等差数列。
(1)求等比数列的通项公式;
(2)对,在与之间插入个数,使这个数成等差数列,记插入的这个数的和为,求数列的前项和。
正确答案
见解析
解析
(1)因为成等差数列,
所以,………………………………………………2分
即,所以,因为,所以,……………4分
所以等比数列的通项公式为;………………………………………………6分
(2),………………………………………………………9分
,………………………………………………………12分
知识点
如图,在直三棱柱中,,,,点分别在棱上,且。
(1)求四棱锥的体积;
(2)求所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值。
正确答案
(1)4(2)
解析
解析:(1)……7分
(2)建立如图所示的直角坐标系,则
,,,,
, ……………………2分
设平面的法向量为,则
,
所以 ……………………………2分
平面的法向量为,则
所以所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值为。
知识点
如图,已知正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AB,AD上,,现将 沿线段EF折起到位置,使得.
(1)求五棱锥的体积;
(2)求平面与平面的夹角.
正确答案
见解析
解析
(1)连接,设,由是正方形,,
得是的中点,且,从而有,
所以平面,从而平面平面,……………2分
过点作垂直且与相交于点,
则平面………………………………4分
因为正方形的边长为,,
得到:,所以,
所以
所以五棱锥的体积;……………6分
(2)由(1)知道平面,且,即点是的交点,
如图以点为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,………………………7分
设平面的法向量为,则
,
,
令,则,………………………9分
设平面的法向量,则,
,
令,则,即, ………………………………11分
所以,即平面与平面夹角.………………………12分
知识点
如图,平面平面ABC,是等腰直角三角形,AC =BC= 4,四边形ABDE是直角梯形,BD∥AE,BD BA,,,
求直线CD和平面ODM所成角的正弦值。
正确答案
见解析。
解析
∵,又∵面面,面面,,
∴,∵BD∥AE,∴,
如图所示,以C为原点,分别以CA,CB为x,y轴,以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
∵,
∴设各点坐标为,,,
,,
则,,,
,,
设平面ODM的法向量,则由
且可得
令,则,,∴,
设直线CD和平面ODM所成角为,则
,
∴直线CD和平面ODM所成角的正弦值为,
知识点
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