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试题分析：(1)分析题意可知在上单调，从而可知M（a，b）=max,分类讨论a的取值范围即可求解；(2)分析题意可知|a|+|b|=,再由M(a,b) ≤2可得|1+a+b|=|f（1）|2,|1-a+b|=f(1) 2,即可求证.

(1)由f(x)= ,得对称轴为直线，由|a|2，得，故f(x)在上单调，∴M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|},当a2时，由f(1)-f(-1)=2a4,得max{f(1),f(-1)} 2,即M(a,b) 2,当a-2时，由f（-1）-f（1）=2a4,得max{f(1),f(-1)} 2，即M(a,b) 2,综上，当|a|2时，M（a,b）2；

(2)由M（a,b）2得|1+a+b|=f(1) 2,|1-a+b|=|f(1)| 2，故|a+b|3,且在上的最大值为2，即M（2，-1）=2，∴|a|+|b|3，当a=2，b=-1时，|a|+|b|=3，且在上的最大值为2，即M（2，-1）=2，∴|a|+|b|的最大值为3.

(１)的定义域为.

其导数

①当时,,函数在上是增函数;

②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,。

所以,在是增函数,在(0,+∞)是减函数.

(２)当时, 则取适当的数能使，比如取，

能使, 所以不合题意

当时，令,则

问题化为求恒成立时的取值范围.

由于

在区间上,;在区间上,.

的最小值为,所以只需

即,,

(3)由于存在两个异号根，不仿设，因为,所以

构造函数:()

所以函数在区间上为减函数. ,则,

于是,又,,由在上为减函数可知.即

（1），

    …………2分

当 上无极值点   …………3分

当p>0时，令的变化情况如下表：

…………4分

从上表可以看出：当p>0 时，有唯一的极大值点  …………5分

（2）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，…………7分

要使恒成立，只需，…………8分     ∴

∴p的取值范围为[1，+∞   …………10分

（3）令p=1，由（2）知，

∴，…………11分

∴    …………12分

∴

   …………13分

   …………14分

 …………15分

∴结论成立

（1）有题可知a2+ a5= 2，a2a2=27又因为d>0,所以a2=3 a5=9，d=2

an=2n-1

又因为,

两式相减得，

数列{bn}为等比数列，

（2） Sn=n2 Sn+1=（n+1）2,

=

猜想，当n》4时，

证明：n=4时成立

假设n=k时成立，即,

当n=k+1时，

由上可知当n》4时，成立。