- 不等式与函数的综合问题
- 共21题
已知函数,
25.若函数在
上是减函数,求实数
的取值范围;
26.令,是否存在实数
,当
(
是自然常数)时,函数
的最小值是3,若存在,求出
的值;若不存在,说明理由;
27.当时,证明:
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
第1问利用导数求函数的单调区间,第2问利用分类讨论思想,讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。
易错点
求导数错误,参数的取值范围分类错误
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
第1问利用导数求函数的单调区间,第2问利用分类讨论思想,讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。
易错点
求导数错误,参数的取值范围分类错误
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
第1问利用导数求函数的单调区间,第2问利用分类讨论思想,讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。
易错点
求导数错误,参数的取值范围分类错误
19.已知函数(a,b
R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值。
(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;
(2)当a,b满足M(a,b)≤2,求|a|+|b|的最大值.
正确答案
(1)详见解析;(2)3;
解析
试题分析:(1)分析题意可知在
上单调,从而可知M(a,b)=max
,分类讨论a的取值范围即可求解;(2)分析题意可知|a|+|b|=
,再由M(a,b) ≤2可得|1+a+b|=|f(1)|
2,|1-a+b|=f(1)
2,即可求证.
(1)由f(x)= ,得对称轴为直线
,由|a|
2,得
,故f(x)在
上单调,∴M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|},当a
2时,由f(1)-f(-1)=2a
4,得max{f(1),f(-1)}
2,即M(a,b)
2,当a
-2时,由f(-1)-f(1)=2a
4,得max{f(1),f(-1)}
2,即M(a,b)
2,综上,当|a|
2时,M(a,b)
2;
(2)由M(a,b)2得|1+a+b|=f(1)
2,|1-a+b|=|f(1)|
2,故|a+b|
3,且
在
上的最大值为2,即M(2,-1)=2,∴|a|+|b|
3,当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且
在
上的最大值为2,即M(2,-1)=2,∴|a|+|b|的最大值为3.
考查方向
解题思路
(1)根据a的取值范围,得到函数在[-1,1]上的单调性,分类讨论证得结论;(2)由题中给出的新定义进行求解.
易错点
二次函数在闭区间上的单调性.
知识点
21.已知函数
(I)若函数与函数
在点
处有共同的切线l,求t的值;
(II)证明:;
(III)若不等式对所有的
都成立,求实数a的取值范围.
正确答案
见解析
解析
考查方向
解题思路
本题解题思路
1)根据共同的切线的理解得到该点处导函数值与函数值都相等得到t
2)利用单调性确定绝对值内的正负,去掉绝对值号,利用对式子进行证明
3)构造关于m的一次函数,把x当作参数消掉m后再使用恒成立问题的解答得出结果
易错点
本题易错在以下几个方面
1)对共同的切线理解不足,第一问出错
2)不能有效去掉绝对值,使用错的解题思想
3)变量间关系不能有效理清
知识点
2. 已知,
,则
是
的( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
2.关于x的不等式:<2的解是( )
正确答案
–1<x<2
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
选修45:不等式选讲
正确答案
见解析
解析
知识点
已知函数,其中
且
.
(1)讨论的单调性;
(2) 若不等式恒成立,求实数
取值范围;
(3)若方程存在两个异号实根
,
,求证:
正确答案
见解析。
解析
(1)的定义域为
.
其导数
①当时,
,函数在
上是增函数;
②当时,在区间
上,
;在区间(0,+∞)上,
。
所以,在
是增函数,在(0,+∞)是减函数.
(2)当时, 则
取适当的数能使
,比如取
,
能使, 所以
不合题意
当时,令
,则
问题化为求恒成立时
的取值范围.
由于
在区间
上,
;在区间
上,
.
的最小值为
,所以只需
即,
,
(3)由于存在两个异号根
,不仿设
,因为
,所以
构造函数:(
)
所以函数在区间
上为减函数.
,则
,
于是,又
,
,由
在
上为减函数可知
.即
知识点
设函数
(1)求函数的极值点;
(2)当p>0时,若对任意的x>0,恒有,求p的取值范围;
(3)证明:
正确答案
见解析
解析
(1),
…………2分
当
上无极值点 …………3分
当p>0时,令的变化情况如下表:
…………4分
从上表可以看出:当p>0 时,有唯一的极大值点
…………5分
(2)当p>0时在
处取得极大值
,此极大值也是最大值,…………7分
要使恒成立,只需
,…………8分 ∴
∴p的取值范围为[1,+∞ …………10分
(3)令p=1,由(2)知,
∴,…………11分
∴ …………12分
∴
…………13分
…………14分
…………15分
∴结论成立
知识点
已知等差数列的公差
,且
是方程
的两根,数列
的前
项和为
,且
(1)求数列,
的通项公式。
(2)设数列的前
项和为
,试比较
与
的大小,并证明。
正确答案
见解析
解析
(1)有题可知a2+ a5= 2,a2a2=27又因为d>0,所以a2=3 a5=9,d=2
an=2n-1
又因为,
两式相减得,
数列{bn}为等比数列,
(2) Sn=n2 Sn+1=(n+1)2,
=
猜想,当n》4时,
证明:n=4时成立
假设n=k时成立,即,
当n=k+1时,
由上可知当n》4时,成立。
知识点
3.不等式(
)的解集为( ).
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
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