不等式与函数的综合问题
共21题

· 不等式与函数的综合问题

不等式与函数的综合问题
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，

25.若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

26.令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

27.当时，证明：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

利用导数求函数的单调区间；导数的集合意义；利用导数证明不等式

解题思路

第1问利用导数求函数的单调区间，第2问利用分类讨论思想，讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。

易错点

求导数错误，参数的取值范围分类错误

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

利用导数求函数的单调区间；导数的集合意义；利用导数证明不等式

解题思路

第1问利用导数求函数的单调区间，第2问利用分类讨论思想，讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。

易错点

求导数错误，参数的取值范围分类错误

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

利用导数求函数的单调区间；导数的集合意义；利用导数证明不等式

解题思路

第1问利用导数求函数的单调区间，第2问利用分类讨论思想，讨论参数的值。第3问通过构造函数证明不等式。

易错点

求导数错误，参数的取值范围分类错误

题型：简答题

简答题 · 15 分

19.已知函数（a，bR）,记M（a，b）是|f（x）|在区间[-1,1]上的最大值。

（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；

（2）当a，b满足M（a，b）≤2，求|a|＋|b|的最大值.

正确答案

（1）详见解析；（2）3；

解析

试题分析：(1)分析题意可知在上单调，从而可知M（a，b）=max,分类讨论a的取值范围即可求解；(2)分析题意可知|a|+|b|=,再由M(a,b) ≤2可得|1+a+b|=|f（1）|2,|1-a+b|=f(1) 2,即可求证.

(1)由f(x)= ,得对称轴为直线，由|a|2，得，故f(x)在上单调，∴M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|},当a2时，由f(1)-f(-1)=2a4,得max{f(1),f(-1)} 2,即M(a,b) 2,当a-2时，由f（-1）-f（1）=2a4,得max{f(1),f(-1)} 2，即M(a,b) 2,综上，当|a|2时，M（a,b）2；

(2)由M（a,b）2得|1+a+b|=f(1) 2,|1-a+b|=|f(1)| 2，故|a+b|3,且在上的最大值为2，即M（2，-1）=2，∴|a|+|b|3，当a=2，b=-1时，|a|+|b|=3，且在上的最大值为2，即M（2，-1）=2，∴|a|+|b|的最大值为3.

考查方向

本题考查了二次函数在闭区间上求最值，分类讨论思想的应用，属于中等题．

解题思路

(1)根据a的取值范围，得到函数在[－1，1]上的单调性，分类讨论证得结论；(2)由题中给出的新定义进行求解．

易错点

二次函数在闭区间上的单调性.

知识点

函数的单调性及单调区间导数的几何意义不等式与函数的综合问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

21.已知函数

（I）若函数与函数在点处有共同的切线l，求t的值；

（II）证明：；

（III）若不等式对所有的都成立，求实数a的取值范围.

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了导函数的几何意义，函数的单调性的判断，考察了函数最值，考察了导数的加法和减法运算，考察了简单复合函数的导函数，考察了函数恒成立问题，考察了函数性质的综合应用，考察了函数的分类讨论思想

解题思路

本题解题思路

1）根据共同的切线的理解得到该点处导函数值与函数值都相等得到t

2）利用单调性确定绝对值内的正负，去掉绝对值号，利用对式子进行证明

3)构造关于m的一次函数，把x当作参数消掉m后再使用恒成立问题的解答得出结果

易错点

本题易错在以下几个方面

1）对共同的切线理解不足，第一问出错

2）不能有效去掉绝对值，使用错的解题思想

3）变量间关系不能有效理清

知识点

函数性质的综合应用导数的运算不等式与函数的综合问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

2．已知,,则是的（）

A必要不充分条件

B充分不必要条件

C充要条件

D既不充分又不必要条件

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

不等式与函数的综合问题

题型：填空题

填空题 · 4 分

2．关于x的不等式：<2的解是（）

正确答案

–1<x<2

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

不等式与函数的综合问题

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