热门试卷

试题分析：本题属于探究性问题，题目的难度是逐渐由易到难，通过归纳猜想，得出结论，再利用数学归纳法进行证明。

（1），，，.

（2）猜想.

下用数学归纳法证明之.

证明：①当时，由（1）知猜想成立；

②假设当时，猜想成立，即，而，所以得.  ……6分

则当时，易知，

而当集合从变为时，在的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和个，

所以

，

即.

所以当时，猜想也成立.

综上所述，猜想成立.

（1）解：当时，由，

得 ，即 。

由 ，得 ，或。                               ………………3分

（2）（ⅰ）证明：设，，。

因为 ，使 ，

所以 ，使得 ，

即 ，使得 ，其中。

所以 与同为非负数或同为负数。           ………………5分

所以

。                    ………………6分

（ⅱ）解：设，且，此时不一定，使得

。                                                          ………………7分

反例如下：取，，，

则 ，，，显然。

因为，，

所以不存在，使得。                               ………………8分

（3）解法一：因为 ，

设中有项为非负数，项为负数，不妨设时；时，。

所以

因为 ，

所以 ，  整理得 。

所以 。……………10分

因为

；

又 ，

所以

。

即 。                                               ……………12分

对于 ，，有 ，，且，

。

综上，的最大值为。                                    ……………13分

解法二：首先证明如下引理：设，则有 。

证明：因为 ，，

所以 ，

即 。

所以

。           ……………11分

上式等号成立的条件为，或，所以 。        ……………12分

对于 ，，有 ，，且，

。

综上，的最大值为。                                    ……………13分