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题型:简答题
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简答题 · 13 分

设P是圆x2+y2=4上的任意一点,过P作x轴的垂线段PD,D为垂足, M是线段PD上的点,且满足|DM|=m|PD|(0<m<1),当点P在圆上运动时,记M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程;

(2)过曲线C的左焦点F作斜率为的直线l交曲线C于A、B两点,点Q满足,是否存在实数m,使得点Q在曲线C上,若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)如图设M(x,y)、P(x0,y0),则由|DM|=m|PD|(0<m<1)得

x= x0,|y|=m| y0|,即

,∴即为曲线C的方程。………6′

(2)设,则

得:………8′

设A(x1,y1)、B(x2,y2).

.

,………9′

即Q点坐标为,将Q点代入,得.

∴存在当时,Q点在曲线C上。………13′

知识点

向量在几何中的应用直线与椭圆的位置关系相关点法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

设椭圆的左右顶点分别为A(﹣2,0),B(2,0),离心率e=,过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且|QP|=|PC|。

(1)求椭圆的方程;

(2)求动点C的轨迹E的方程;

(3)设直线AC(C点不同于A,B)与直线x=2交于点R,D为线段RB的中点,试判断直线CD与曲线E的位置关系,并证明你的结论。

正确答案

见解析。

解析

知识点

直线与圆的位置关系椭圆的定义及标准方程相关点法求轨迹方程
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

设椭圆的左右顶点分别为A(﹣2,0),B(2,0),离心率e=,过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且|QP|=|PC|。

(1)求椭圆的方程;

(2)求动点C的轨迹E的方程;

(3)设直线AC(C点不同于A,B)与直线x=2交于点R,D为线段RB的中点,试判断直线CD与曲线E的位置关系,并证明你的结论。

正确答案

见解析。

解析

解:(1)由题意,可得a=2,e==,可得c=,∴  b2=a2﹣c2=1,

因此,椭圆的方程为,﹣

(2)设C(x,y),P(x0,y0),由题意得,即

,代入得,即x2+y2=4。

即动点C的轨迹E的方程为x2+y2=4。

(3)设C(m,n),点R的坐标为(2,t),

∵A、C、R三点共线,∴

=(m+2,n),=(4,t),则4n=t(m+2),

∴t=,可得点R的坐标为(2,),点D的坐标为(2,),

∴直线CD的斜率为k==

而m2+n2=4,∴﹣n2=m2﹣4,代入上式可得k==﹣

∴直线CD的方程为y﹣n=﹣(x﹣m),化简得mx+ny﹣4=0,

∴圆心O到直线CD的距离d===2=r,

因此,直线CD与圆O相切,即CD与曲线E相切。

知识点

直线与圆的位置关系椭圆的定义及标准方程相关点法求轨迹方程
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知,点B是轴上的动点,过B作AB的垂线轴于点Q,若,.

(1)求点P的轨迹方程;

(2)是否存在定直线,以PM为直径的圆与直线的相交弦长为定值,若存在,求出定直线方程;若不存在,请说明理由。

正确答案

(1)y2=x(2)x=

解析

(1)设B(0,t),设Q(m,0),t2=|m|,m0, m=-4t2

 Q(-4t2,0),设P(x,y),则=(x-,y),=(-4t2-,0),

2=(-,2 t), +=2

(x-,y)+ (-4t2-,0)= (-,2 t),

 x=4t2,y=2 t, y2=x,此即点P的轨迹方程;       6分。

(2)由(1),点P的轨迹方程是y2=x;设P(y2,y),M (4,0) ,则以PM为直径的圆的圆心即PM的中点T(), 以PM为直径的圆与直线x=a的相交弦长:

L=2

=2=2      10分

若a为常数,则对于任意实数y,L为定值的条件是a-=0, 即a=时,L=

存在定直线x=,以PM为直径的圆与直线x=的相交弦长为定值

知识点

相关点法求轨迹方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知椭圆的中心为原点,离心率,其一个焦点在抛物线的准线上,若抛物线与直线相切。

(1)求该椭圆的标准方程;

(2)当点在椭圆上运动时,设动点的运动轨迹为,若点满足:,其中上的点,直线的斜率之积为,试说明:是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求的坐标;若不存在,说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)由

抛物线与直线相切,

抛物线的方程为:,其准线方程为:

离心率

故椭圆的标准方程为             

(2)设

当点在椭圆上运动时,

动点的运动轨迹

的轨迹方程为: 

分别为直线的斜率,由题设条件知

因此

因为点在椭圆上,所以

所以,从而可知:点是椭圆上的点,

存在两个定点,且为椭圆的两个焦点,使得为定值,其坐标为。  

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质相关点法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题
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