等比数列的判断与证明
共122题

· 等比数列的判断与证明

等比数列的判断与证明
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题型：简答题

简答题 · 14 分

设等比数列{}的前n项和为Sn，已知。

（1）求数列{}的通项公式；

（2）在与之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为d的等差数列。

（I）在数列{}中是否存在三项（其中m，k，p是等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由；

（II）求证：

正确答案

见解析。

解析

（1）由,

可得：,

两式相减：.

又,

因为数列是等比数列，所以，故.

所以 .

（2）由（1）可知，

因为：，得.

（Ⅰ）假设在数列中存在三项（其中成等差数列）成等比数列，

则：，即：,

（*）

因为成等差数列，所以 ,

（*）可以化简为，故，这与题设矛盾.

所以在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列.…10分

（Ⅱ）令，

两式相减：

知识点

等比数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知数列满足，()，则的值为；

的值为。

正确答案

；2

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

设数列的前项和为，且满足。

（1）求证：数列为等比数列；

（2）设，求证：。

正确答案

见解析。

解析

（1），，

又，

是首项为，公比为的等比数列，且，

（2）当时，，

当时，，

故，

，

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列是首项为的等比数列，设，数列满足.

（1）求数列的前n项和；

（2）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.

正确答案

见解析

解析

知识点

等比数列的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（）

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

设等比数列的前项和为，已知()

（1）求数列的通项公式；

（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列。

求证：()。

正确答案

见解析。

解析

（1）设等比数列的首项为，公比为，

，（）

即()

当,得，即，解得：

即.

（2）①，则，

设① 则②

① -②得：2+

知识点

等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知动圆与直线相切，并与定圆相内切.

（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程.

（2）过原点作斜率为1的直线交曲线C于（为第一象限点），又过作斜率为的直线交曲线C于，再过作斜率为的直线交曲线C于……如此继续，一般地，过作斜率为的直线交曲线C于，设.

①令，求证：数列是等比数列；

②数列的前n项和为，试比较大小.

正确答案

见解析

解析

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合定义法求轨迹方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知各项均不为零的数列，定义向量，则下列命题中是真命题的是

A若对任意的，都有成立，则数列是等差数列

B若对任意的，都有成立，则数列是等差数列

C若对任意的，都有成立，则数列是等差数列

D若对任意的，都有成立，则数列是等比数列

正确答案

解析

略

知识点

平面向量共线（平行）的坐标表示量积判断两个平面向量的垂直关系等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

等比数列中，，则 ________________。

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列的各项均为正数，记,,

。

（1）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列的通项公式。

（2）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列。

正确答案

见解析

解析

（1）因为对任意，三个数是等差数列，

所以， ………1分

所以, ………2分

即， ………3分

所以数列是首项为１，公差为４的等差数列， ………4分

所以， ………5分

（2）（１）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则

， ………6分

所以得

即， ………7分

因为当时，由可得， ………8分

所以。

因为，

所以，

即数列是首项为，公比为的等比数列， ………9分

（２）必要性：若数列是公比为的等比数列，则对任意，有

， ………10分

因为，

所以均大于，于是

………11分

………12分

即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列。

………13分

综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列， ………14分

知识点

充要条件的应用等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明

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