等比数列的判断与证明
共122题

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等比数列的判断与证明
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题型：填空题

填空题 · 5 分

在等比数列中，，则（），为等差数列，且，则数列的前5项和等于（） .

正确答案

2；10

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知等比数列的首项为，若，，成等差数列，则数列的前项和为______，

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列中，，，记为的前项的和，，。

（1）判断数列是否为等比数列，并求出；

（2）求.

正确答案

见解析。

解析

（1），，

，即 ………………………………………………………………2分

，

所以是公比为的等比数列. …………………………………………………………5分

，，

………………………………………………………………………6分

（2）由（1）可知，所以是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，以为公比的等比数列 …………10分

………………………………………………………12分

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明分组转化法求和

题型：简答题

简答题 · 18 分

若函数满足：集合中至少存在三个不同的数构成等比数列，则称函数是等比源函数.

（1）判断下列函数：①；②中，哪些是等比源函数？（不需证明）

（2）证明：对任意的正奇数，函数不是等比源函数；

（3）证明：任意的，函数都是等比源函数。

正确答案

见解析

解析

（1）①②都是等比源函数.

（2）证明：假设存在正整数且，使得成等比数列，

，整理得，

等式两边同除以得.

因为，所以等式左边为偶数，等式右边为奇数，

所以等式不可能成立，

所以假设不成立，说明对任意的正奇数，函数不是等比源函数

（3）因为任意的，都有，

所以任意的，数列都是以为首项公差为的等差数列.

由，（其中）可得

，整理得

，

令，则，

所以，

所以任意的，数列中总存在三项成等比数列.

所以任意的，函数都是等比源函数.

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明反证法的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为________，的值为________。

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 13 分

从数列中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列的一个子列。

（1）写出数列的一个是等比数列的子列；

（2）若是无穷等比数列，首项，公比且，则数列是否存在一个子列为无穷等差数列？若存在，写出该子列的通项公式；若不存在，证明你的结论.

正确答案

见解析

解析

（1）（若只写出2,8,32三项也给满分）.----------------------4分

（2）证明：假设能抽出一个子列为无穷等差数列，设为，通项公式为.因为，所以.

（i）当时，∈（0，1]，且数列是递减数列，

所以也为递减数列且∈（0，1]，,

令，得，

即存在使得，这与∈（0，1]矛盾。

（ii）当时，≥1，数列是递增数数列，

所以也为递增数列且≥1，.

因为d为正的常数，且，

所以存在正整数m使得.

令，则，

因为=，

所以，即，但这与矛盾，说明假设不成立。

综上，所以数列不存在是无穷等差数列的子列.------------------------13分

知识点

等比数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

设，则。

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知等比数列中, ，，则=（） .

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

设数列，以下命题正确的是（）

A若，，则为等比数列

B若，，则为等比数列

C若，，则为等比数列

D若，，则为等比数列

正确答案

解析

略

知识点

命题的真假判断与应用等比数列的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

设是公差不为0的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于

正确答案

解析

略

知识点

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