等比数列的判断与证明_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

16．若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则= （）时，数列也是等比数列。

正确答案

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知识点

等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用类比推理

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

3．“数列为常数列”是“数列既是等差数列又是等比数列”的（）

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B

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知识点

充要条件的判定等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．由9个正数组成的数阵每行中的三个数成等差数列，且，，成等比数列．给出下列结论：

①第二列中的必成等比数列；

②第一列中的不一定成等比数列；

③；

④若9个数之和大于81，则 >9．

其中正确的序号有．（填写所有正确结论的序号）．

正确答案

①②③

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知识点

等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用等差数列与等比数列的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．已知数列满足，前n项和为Sn，Sn=。

（1）求证：是等比数列；

（2）记，当时是否存在正整数n，都有？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由。

正确答案

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知识点

等比数列的判断与证明错位相减法求和数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 9 分

26．设二次方程有两根和，且满足．

（1）试用表示；

（2）求证：是等比数列；

（3）当时，求数列的通项公式．

正确答案

（1）根据韦达定理得，由得

故

（2）因为，所以

所以数列是等比数列

（3）当的首项为

所以所以：

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的基本运算等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知数列，满足，数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：。

正确答案

（1）由，得，

代入，得，

整理，得,

从而有，

，

是首项为1，公差为1的等差数列，

即.

（2），

，

.

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知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 18 分

23．已知数列的首项（是常数，且），（），数列的首项，（）．

（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；

（2）设为数列的前项和，且是等比数列，求实数的值；

（3）当时，求数列的最小项．

正确答案

（1）∵

∴

（n≥2）

由得，，

∵，∴ ，

即从第2项起是以2为公比的等比数列．

（2）

当n≥2时，

∵是等比数列，

∴（n≥2）是常数，

∴，即．

（3）由（1）知当时，，

所以，

，

显然最小项是前三项中的一项．

当时，最小项为；当时，最小项为或；

当时，最小项为．

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由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 18 分

23．已知数集具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于．

（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；

（2）求的值；当时，数列是否成等比数列，试说明理由；

（3）由（2）及通过对的探究，试写出关于数列的一个真命题，并加以证明．说明：对于第（3）题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．

正确答案

（1）由于与均不属于数集，∴数集不具有性质P

由于，，，，，，都属于数集，∴数集具有性质P

（2）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，由于

，∴，故

从而 ∴

当时，，，，都属于A

从而，，，即，

故数列成等比数列

（3）命题一：对于一切大于或等于3的奇数，满足性质的数列成等比数列．

证明：由（2），不妨设．首先易得，知

都属于A，又，从而，有

，即

…………………（﹡）

因为，所以，只有，，

均属于．将从到列举，便得到：

第1组：，共项；

第2组：，共项；

第3组：，共项；

第组：，共项．

上一组的第2项总大于下一组的第1项，再注意到，故，

第1组的各数从左到右依次为：；

第2组的各数从左到右依次为：；

第3组的各数从左到右依次为：；

第组的各数从左到右依次为：．

于是，有，

由（﹡），，，，，又，故，数列

成等比数列．

命题二：对于一切大于或等于6的偶数，满足性质的数列成等比数列．

证略（同命题一的证明类似）

命题三：对于一切且的，满足性质的数列成等比数列，且．

（证略）若学生指出：当时，满足性质的数列有可能是等比数列，也有可能不是等比数列．

例如数列不是等比数列；数列是等比数列．

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元素与集合关系的判断等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用数列与不等式的综合归纳推理

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

18．在数列中，为常数，则称为“差等比数列”，有下列关于“差等比数列”的命题：

①在差等比数列中不能为；

②等差数列一定是差等比数列

③等比数列一定是差等比数列

④差等比数列中可以有无数项为

其中正确的判断是（）

A①②

B②③

C③④

D①④

正确答案

D

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等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

21．已知数列中，．

（1）求证：数列（）均为等比数列；

（2）求数列的前项和；

（3）若数列的前项和为，不等式对恒成立，求的最大值．

正确答案

（1）∵，∴

∴数列是以1为首项，为公比的等比数列；

数列是以为首项，为公比的等比数列。

（2）

（3）

当且仅当时取等号，

所以，即，

∴的最大值为－48

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知识点

等比数列的判断与证明分组转化法求和数列与不等式的综合

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