等比数列的判断与证明
共122题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

15．已知表示大于的最小整数，例如．

下列命题:

①函数的值域是；

②若是等差数列，则也是等差数列；

③若是等比数列，则也是等比数列；

④若，则方程有个根.

其中正确的的序号是____________．（把你认为正确的序号都填上）

正确答案

①④

解析

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知识点

命题的真假判断与应用函数的值域函数零点的判断和求解等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．在数列中，

（I）证明是等比数列，并求的通项公式；

（II）求的前n项和。

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明错位相减法求和

题型：单选题

单选题 · 5 分

9.已知公比不为1的等比数列的首项为1，若成等差数列，则数列的前5项和为( )

C121

D31

正确答案

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知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用等比数列的基本运算等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用

题型：简答题

简答题 · 16 分

20．已知数列满足，

（1）求数列的通项公式；

（2）若对每一个正整数，若将按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为。

①求的值及对应的数列。

②记为数列的前项和，问是否存在,使得对任意正整数恒成立？若存在,求出的最大值；若不存在,请说明理由。

正确答案

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知识点

等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 16 分

19.已知数列｛｝中，对一切，点在直线y=x上，

（Ⅰ）令，求证数列是等比数列，并求通项；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）设的前n项和,是否存在常数，使得数列为等差数列？若存在，试求出若不存在,则说明理由。

正确答案

解析

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明数列与解析几何的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

4.若数列满足-=0,n∈N*,p为非零常数,则称数列为“可塑数列”. 已知正项数列{}为“可塑数列”,且b1b2b3…b99=599,则b10+b90的最小值是（　　）.

A20

B10

C60

正确答案

解析

依题意可得bn+1=pbn,则数列为等比数列. 因为b1b2b3…b99=599,所以b50=5,故b10+b90≥2=2b50=10,当且仅当b10=b90,即该数列为常数列时取等号

知识点

等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用数列与不等式的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

2.已知数列{an}中, a1=1,当n≥2时,an=2an-1+1,依次计算a2 , a3, a4后,猜想an的一个表达式是（　　）.

An2-1

B（n-1）2+1

C2n-1

D2n-1+1

正确答案

解析

a2=2a1+1=2×1+1=3,

a3=2a2+1=2×3+1=7,

a4=2a3+1=2×7+1=15,

利用归纳推理,猜想an=2n-1,故选C

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．已知函数，数列满足条件：．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）令是数列的前项和，求使成立的最小的值．

正确答案

（1）证明：由题意得，∴

又 ∵

∴

故数列{bn + 1}是以1为首项，2为公比的等比数列

（2）由（1）可知，，∴

故

∴

解析

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知识点

等比数列的判断与证明裂项相消法求和数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

21.已知数列的首项

（1）求的通项公式；

（2）证明：对任意的．

正确答案

（1）

∴ ∴

又 ∵

∴ 是以为首项，为公比的等比数列

∴

（2）由 (1) 知

∴ 原不等式成立

解析

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的基本运算等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 16 分

19. 设数列的前项和，，，且当时，．

（1）求证:数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为．设是整数，问是否存在正整数，使等式成立？若存在，求出和相应的值；若不存在，说明理由．

正确答案

见解析

解析

解：（1）当时, ,,

代入并化简得,

而恒为正值,∴

∴数列是等比数列.

∴.当时,,

又，∴

（2）当时，,此时，又

∴.

故，

当时，

，

若，

则等式为，不是整数，不符合题意；

若，则等式为，

∵是整数, ∴必是的因数, ∵时

∴当且仅当时，是整数，从而是整数符合题意.

综上可知，当时，存在正整数，使等式成立，

当时，不存在正整数使等式成立.

考查方向

本题考查了等比数列的证明及数列的通项公式求法

解题思路

利用，得数列是等比数列.

易错点

忽略n的范围的讨论。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的判断与证明裂项相消法求和数列与函数的综合

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